いよいよ2次関数も最終ページです。
つまり中学の関数がおしまい。
よくがんばったね。
このページの動点(どうてん)の問題は、
応用問題という扱いをよくされます。
実際、すごく簡単なわけではありません。
だから入試やなんかでよーく出題されるんだよね。
だけど順序立ててやればきっとできる。
このサイトは基礎が多めだけど、
基本的なとらえ方から、やってみます。
このくらいできるようにするよ。
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2次関数のこのページを書き始めてから、
1次関数の動点問題も急きょ作ることにしました。
動点の問題は2次関数だとかそういうのはあまり関係なくて、
「動点の考え方」ができるかの方が重要です。
2次関数ができる人はいきなりこのページからやるのも、
まずはそこからやってみるのもいいと思います。
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さあ問題です。
はい。
かなりやばそうな問題だね。
みんなが嫌そうな要素をだいたい入れました。
文章題で大切なのは、
問題の見た目でやられないこと。
落ち着いて、落ち着いて読みながら、
図にメモをたしたり、読み取っていきます。
AB=6cm、BC=8cmの長方形ABCDがある。
点Pは辺AB上を秒速1cmでBからAまで進み、
Aに着くと止まる。
点Qは辺BC、CD上を秒速2cmの速さで
BからCを通ってDまで進む。
点P、点QがBを出発してからx秒後の
△BPQの面積をycm2として
次の問いに答えなさい。
とのことでした。
ここからyをxの式で表せよ、ということです。
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点Pと点Qの秒速も違うし、
点P止まったりする。
どうすればいいんだろう。
迷っていいです。
そのまま突っ込んで混乱するよりずっといいです。
動点の問題が嫌な理由は「動く」からだよね。
動くのが嫌なら「止めればいい」じゃん。
でも、いつ止めればいいかという判断が、
今回はちょっと難しいです。
難しいポイントは2つあります。
1.点Qが辺BCから辺CDに移るとき
2.点PがAに着いて止まるとき
このときにどうやら式が変わりそうです。
でも点Pが止まるときが、
点QがBC上かCD上かがわからない。
だから今回は先に、xの変域(秒)を調べてみます。
2点同時はむずかしいから、まず点Pから。
点PはBから動くから、
Bにいるときはそりゃあ「0秒」です。
そこからPはAに進むんだよね。
辺ABの長さは6cm。
点Pは秒速1cm(1秒に1cm)だから、
Aに着くときは6cm分の「6秒」です。
これで点Pの動きが分かりました。
0秒から6秒で辺AB上を動いて、
このあと点Pは止まるってことだね。
じゃあ続いて点Q。
点QもBスタートです。
そこからまずCまで進みます。
辺BCの長さは8cm。
点Qは秒速2cm(1秒に2cm)。
秒数の2倍分進んでます。
だからCまで8cm進むには「4秒」だね。
(4秒×2=8)
点QはそのCからDまで進みます。
辺CDの長さは6cm。
点Qは秒速2cmだから、
Dまで6cm進むには「3秒」。
(3秒×2=6)
すでにCまでに4秒経ってるので、
Dまでは4+3で「7秒」だね。
これで点Pと点Qの進み方が出ました。
点P・・AB上(0秒から6秒)
点Q・・BC上(0秒から4秒)
CD上(4秒から7秒)
ということです。
点Qは7秒まであるのに点Pは6秒までだよね。
その6秒から7秒の間に点Pは止まってる、
ということじゃないかな。
つまりこの問題の区切りは
「4秒(点Qの辺が変わる)」と
「6秒(点Pが止まる)」の2箇所です。
0秒から4秒まで
4秒から6秒まで
6秒から7秒まで
をやれば、この問題は解けそう。
秒はxだったから、こういうのを
0≦x≦4
4≦x≦6
6≦x≦7
というふうに書くのでした。
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① 点QがBC上
じゃあ実際に解きはじめよう。
BC上ということは「0≦x≦4」です。
動点の問題は動くから難しい。
だから「止めればいい」んだよね。
止めるというのは、写真を撮るようなイメージです。
そのシーンの図を描いてみるということ。
点Pは秒速1cmだからBP間は「xcm」、
点Qは秒速2cmだからBQ間は「2xcm」でした。
図はフリーハンドでいいからね。
さあ。三角形の公式はこうでした。
底辺も高さも求まってるから、
△BPQの面積はもう求められそうです。
求まったね。
2次関数でした。
こんな感じ。
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② 点QがBC上
点QはBC上を「4秒から7秒」で動くんだけど、
「4秒から6秒まで」「6秒から7秒まで」で分けるよ、
というのはさっきやったよね。
だから
② 点QがBC上
(4≦x≦6のとき)
という感じです。
じゃあ動きを止めるよ。
こういう三角形になるからね。
こんなミスをしないように。
△BPQがy、だからね。
あれ?
「2x」って書かなくていいの?って思うかな。
2xは
ここです。このL字型のところが「2xcm」。
点QはBからスタートしてるからね。
今回は使わなそうなので書きませんでした。
△の高さは底辺と垂直だったよね。
だから図みたいに、底辺BPに垂直なところ、
「8cm」が高さになります。
もう答え。
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じゃあ場合分けラストだね。
写真撮ります。
このときは点PはAに止まってるので
BPの長さはABの長さと同じ、6cmです。
高さはさっきと同じ8cmだね。
じゃあ答えです。
まとめると
こんな感じでした。
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(2)x、yの関係をグラフに表しなさい。
こういうグラフに書いていきます。
まずはさっきの式を一覧にします。
まず「0≦x≦4」です。
この区間は「y=x2」で2次関数だね。
こうだね。
4秒までだけです。
そしたら「4≦x≦6」で「y=4x」。
こういうのは、終点のx=6を求めちゃうんです。
y=4×6
=24
だね。
その点を打って、
繋いじゃいます。
これだけ。
「y=4x」は1次関数なので「直線」だね。
じゃあ最後。
6秒から7秒の間はずっとy=24ということです。
(7,24)に点を打って結べばいいよね。
これで答えです。
おしまい。
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このあと比例と反比例も軽くやるけど、
これで一応中学の関数はおしまいです。
中学の数学はだいたい、
1学期「計算」2学期「関数」
3学期「それ以外」という配分です。
それだけ関数のしめる割合は大きいからね。
得意にしとくとなにかとお得です。
困ったらいつでも戻ってきてください。
演習問題は上の問題と同じ問題。
がんばれ!
演習問題