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 関連ページ(13.1. 円とおうぎ形)
 前のページ(14.1. 空間図形(体積))


コンビニにあるジュース(小さなパック)で説明すると

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体積と表面積はこういうことでした。
(紙パックだと厳密には「のりしろ」があるけど、表に出てる面積だけです)
前回は体積、今回は表面積をやります。


ーーーーーー


面積は「平面」の大きさを表すものでした。
だから立体の表面積は、開いて、平面にして考えます。

とりあえず問題。

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これをやってみます。
表面積を求めるには、まず、開く。
開いた絵のことを展開図っていうんだけど、
これがうまく描けない人が意外と多い。

こんなのメモだから、
パパっと描けるようにしちゃいます。

楽な方法教えるね。
まず横(側面)から描いちゃうんです。
上の立体は底面が四角形、だから4辺分あるということです。

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これだけ。
四角形だから4つ描けばいいだけです。
そのあと、底面を上と下つけちゃう。

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これでほぼ完成です。
そしたら、長さの情報を書き込みます。

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長さは、書き込みすぎず、
でも必要な分はすべて書きます。

まず側面積(側面の面積)から。

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これ、4枚あるけど、
結局大きな1枚として考えることもできます。

横の長さが(3+2+3+2)cm、
縦の長さが10cmです。

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次は底面積ね。

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上も下も両方合わせて底面積です。
上も下も同じだから、ひとつ出して、2倍します。

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これを合わせたのが、表面積です。

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こういうふうに、側面積と底面積を出してから足してもいいし、

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こういうふうに一気に解いてもいいです。
一気に解くときは計算ミスしないように気をつけてね。

これが表面積の基本です。
展開図を描くの、めんどくさがらないようにね。


ーーーーーー


前回やったけど、体積には2種類あります。
まず「〇〇柱」。

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そして「〇〇錐(すい)」。

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とがってないのと、とがってるのです。

まず「〇〇柱」からやるね。
さっき四角柱やったから、じゃあ三角柱。

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まず展開図だったね。
三角形だから、側面は3つです。

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こうして

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こう。
長さを書き込みます。

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長さをきちんと書き込めるように大きく描いとくんだよ。
5cm、7cm、3cmは厳密に描かなくて(も)いいからね。
あくまでメモです。わかりやすく。
三角形の情報は底辺と高さだけで書きます。必要なのだけ。

じゃあ解くね。

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ほい。
じゃあ円柱!

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展開図を描きます。
「円」で角がないから、側面はひとつです。

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ここで足りない情報があるんだけど、分かるかな。
よく見て、よく考えて。

側面の「横の長さ」がないじゃん。
縦の長さしかないから、側面積(長方形)求められないよ。
どうしよう。

側面積の横の長さは。

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ここと一緒です。円の周りの長さ。円周だね。

ここで、前の前のページでやった、
円の円周と円の面積の求め方を復習します。

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半径をrだとして、円周は「2πr」、円の面積は「π2」です。
これはもう覚えてるかな?
覚えてない人は連呼(れんこ:何度も声に出して読むこと)して覚えるんだよ。

π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2・・・
πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、π・・・

ほい覚え(たとし)ました。
じゃあ、気をつけながら解いていくよ!

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これで「〇〇柱」はおしまい!


ーーーーーー


じゃあ「〇〇錐(すい)」にいきます。

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とりあえず展開図だったね。
この場合は底面積から描きます。四角いっこ。

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そしたら周りに4つ三角。

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そしたら長さを書き込むんでした。

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これだけです。
答えるよー!

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こんな感じでした!


ーーーーーー


最後に円錐(えんすい)をやります。
みんなきらいな円錐!

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まず展開図を描きます。
底面は円。

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これに対して、側面はおうぎ形です。

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これに長さを書き込みます。

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・・・・・。
何すればいいんだ・・・。

と、ここでなってしまうことが多いです。
(展開図を描いてるだけえらい)

円の面積はたぶん大丈夫そうだよね。
問題は側面積、あのおうぎ形です。

おうぎ形に関しては13.1. 円とおうぎ形で説明してます。
そっち読んできてからがいいと思います。
なぜなら、ここは13.1.よりレベルが高いから。
そこまでの知識があるの前提で話を進めていきます。

そのページで、おうぎ形は「円の一部と考える」と説明しました。
図にそのイメージを描き込むとこんな感じです。

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おお。
少しイメージがくっきりしました。
大きい円の半径が5cm、というふうにとらえられるね。

おうぎ形の求め方は

 ① 「円の一部」と考える
 ② 「円」を出す(面積なら面積、弧の長さなら円周)
 ③ 「割合かける」だけ!

でした。
①までは終わったということ。

じゃあ②だね。
おうぎ形の面積が必要なので、円の面積を求めます。
円の面積は「π2」。

 π2π×5×5

です。
じゃあそれに③「割合をかける」。
んで、また止まる。

割合ってなんだ。
割合は

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こう。
全体分の部分。
全体側が円、部分側がおうぎ形です。
そこからおうぎ形の割合は

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この3パターンがあったのでした。
全部ないじゃん。

全部ないじゃん。(2度目)
でもこの3パターンしかない。
決定的にだめなのはどれかを考え直します。

 角度・・明らかに分かっていない
 円周・・円周は分かるけど弧の長さがわかんない
 面積・・これから面積求めるんだから使えない

角度と面積から攻めても絶対ダメそう。
だから狙うは「円周」です。

円周は分かるね。

 2πr=2×π×5
 
でも弧の長さはな。
よーく見て。弧の長さ。
さっき、似たような考え方を使ってるんだから。

c0357199_13284658.jpeg


よーく見た?
わかった?

きっとわかるから、よく考えてみて。
もう、答え言うからね。

この考え方です。

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この長さと同じじゃんね。
大きな円側の弧の長さは、小さな円の円周と長さが一緒なんです。

 2πr=2×π×3

これで、側面積は求められます。

 ① 「円の一部」と考える
  → 考えた

 ② 「円」を出す(面積なら面積)
  → π2π×5×5

 ③ 「割合かける」
  → 円周と弧の長さで割合を作る。
    弧の長さは小さな円の円周

つまり式は

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こうなります。
だから、側面積は

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こうです。
長かったけど、式自体はシンプルです。
意味が分かってる人にはね。

じゃあ底面積も合わせて、表面積求めるよ。

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これで答えです。


ーーーーーー


ちなみに。

円錐の側面積の求め方はね。

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こういう一発で解く方法があります。
覚える?覚えても別にいいです。

でも、いらないよこんなの。
今解けたじゃん。ちゃんと理解したやり方でね。
円錐の問題を同じ解き方で、
あと3回以上解けばもっと理解できます。

同じ、一貫した考え方をずっと続けてれば、
理解は深くなるばかりです。
どんどん間違えなくなります。

だけど
「円錐のやり方はこれで一発!」
「この解き方はこれで解ける!」
「この問題はこれで一撃!」
これを全部覚えたら、
理解はどんどん浅くなります。
入試前に忘れるし、応用がきかなくなります。
こういう「テクニック」っていうのは、危ないんだ。
それをよく覚えててほしいなと思います。

だってその暗記を少しでも忘れたらアウトでしょ。
理解してれば、順序良く解きながら思い出せます。

さらにちなみに。
なんでその公式になるのかというとね。
半径をa、bにして、さっきと同じ解き方をしてみます。

c0357199_13313080.jpeg


こうなるから。
こんなの覚えなくていいでしょ。


ーーーーーー


ということで表面積の回はここでおしまいです。
一応、数学のページ全体としてもここでおしまいにします。
全部やった人がいたら、すごい。
きっと前より、出来るようになってると思います。
好きになってたらそりゃあいいけど、
好きまではいかなくても、
「嫌い」とか「苦手」とかじゃなくなってるといいなと思います。

最後の演習問題は前のページの体積も合わせて、
このページの復習です。


演習問題

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答え

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by dekiyosite | 2015-10-07 14:06 | 数学

 前のページ(13.1. 円とおうぎ形)


こんにちは。
図形はあと2ページです。
体積と表面積、できるようにしよう。


ーーーーーー


まず、体積と表面積って何だ?ってところから。
コンビニで売ってるパックのジュースで考えてみます。

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こんな感じ。
ジュースはすきまなく入ってると思ってね。

体積は中身全体の量です。
面積って

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こういうふうに「平面」の大きさを表すものだったよね。
だから立体の表面積は、開いて、平面にして考えます。
これが立体の体積と表面積でした。


ーーーーーー


じゃあ解き方ね。

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この図形の「体積」を出します。
ここで体積の出し方を教えるね。

 ① 底面積を出す
 ② 高さをかける
 ③ とがってたら「×3分の1」

これを図で説明します。
説明するから、必ずやってね
口も手も動かします。

 ① 底面積を出す

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「底面積」と言いながら
手で底面積をかこいます。

 ② 高さをかける

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「かける高さ」と言いながら、
手をそのまま上に持ち上げます。

 ③ とがってたら「×3分の1」

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「かける3分の1」と言いながら、
両手をキュッとしめます。

これが体積の求め方です。
教えたんだから、やってね?

体積の求め方ってなんだっけって聞くと、
「たて×よこ・・」とか(それは四角形)
「底辺×・・」とか(それは三角形)
だいたいみんな「覚えられなくて」解けないんです。

毎回こうやってイメージすること、
口に出すことで、絶対忘れません。

10問も解けば手を動かすのが当たり前になります。
「恥ずかしい」「バカらしい」って言ってて、
結局解けないほうがカッコ悪い!


ーーーーーー


しまった。
問題解いてなかったね。

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この問題でした。
まずは

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こうだから、底面積だね。
底面積(底の面積)は三角形です。
底辺×高さ×「1/2」だね。

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次は②。

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「×高さ」です。
じゃあこうだね。

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今回はとがってないので、ここで答えです。
答えるよ!

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単位は「cm3」です。
底面積で「cm2」、さらに高さで「cm」かけてるから、
体積は3乗になります。


ーーーーーー


今みたいに、上がとがってないやつを
「〇〇柱(ちゅう)」と言います。

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上がとがってるっていうのは

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こういうやつのこと。
これを「〇〇錐(すい)」と言います。
「円すい」みたいにひらがなで書いてもいいです。
とにかく、とがってるのは「〇〇すい」。

だから

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こういう立体の体積は

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まず底面積。
円だから(円は前のページで解説してるからね!)

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こう。
さらに

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次は高さだから、

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こう。
さらにさらに、
今回は円錐でとがってるから、

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かける3分の1で、

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これが式です。
じゃあ解くね。

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というわけでした!


ーーーーーー


これで空間図形(立体)の体積はおしまいです!
とにかく

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これだけ毎回やってくれれば、間違えないと思う。
このページでは演習問題なしにしようかな。
そのかわり、次の表面積のページで一緒に出します。
表面積はちょっとだけむずかしいよ。
おうぎ形のページを見といてね。


 次のページ(14.2. 空間図形(表面積))
 もくじ




by dekiyosite | 2015-10-04 09:43 | 数学

 関連ページ(★割合について)


みんないやがるおうぎ形。
ここで出来るようにしちゃおうね。

上に載せた「割合について」というページは前半だけでもいいから読んでから来てね。


ーーーーーー


さて。
おうぎ形というのは

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こういう形のこと。
扇(おうぎ。扇子(せんす)のこと)みたいな形してるよね。
別にチーズケーキ形でもいいんです。
似てるね。

おうぎ形の面積

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弧(こ)の長さ

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中心角

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の求め方を今からやります。
が、その前に「円」の知識が必要です。


ーーーーーー


円の「面積」と「円周」について復習します。

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小学校で覚えたこの公式をまだ日本語で覚えてる人も多いはず。
だけど半径を「r」、円周率(3.14・・)を「π」とします。

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とにかく面積を「π2」円周を「2πr」と連呼しまくって覚えてください。
連呼(れんこ)とは声に出して読みまくること!覚えるには連呼!

π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2・・・
πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、π・・・

はい覚えました。覚えないと始まらないからね!

ちなみに円周がなんで「2rπ」ではないのかというと「π」も数字だからです。
π」も3.14・・という数字だから、「数字・文字」の順番でいうと「2πr」なのでした。

ちょっと軽く問題やってみましょう。

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これを解きます。
公式を「覚える」かつ「忘れない」ために、
「2πr」「π2」は毎回書きます。

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という感じです。
単位は()を付けて式に書き込みます。

(「2×π×3=6cm」と書くのはダメです。
 単位がなかったのに突然単位が付くと
 「=」ではなくなるからです)

面積の方は「π×3(cm)×3(cm)」ということなので、
cmを2回かけてるよね。だから単位は「cm2」です。

円はこんな感じ。
こんな感じでもうおうぎ形にいっちゃうよ。


ーーーーーー


おうぎ形をだいたいみんないやがります。
それはなぜかというと「公式がめんどくさそうだから」。
これにつきます。
見てみる?

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こんな感じです。
弧の長さと面積はなんとなく似てるけど、
中心角の公式は参考書などでバラバラです。

これを全部覚えて、解いてくださいね。と言われるわけです。
テスト前ならまだしも、入試前まで覚えてられるかな。

なんかめんどくさそうだからみんないやになります。
だから「ちゃんと」理解してみよう。
理解すれば、忘れても思い出せます。


ーーーーーー


★割合について」のページでやったことを軽く復習します。

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割合は「全体分の部分」で出すことができたんだよね(とっても大事!)。
これはとっても大事なので、今覚えてください。

ピザ1枚を、8等分して、3切れ食べたら、何枚食べたことになるかな。
というのを割合(全体分の部分)を使って書くことができます。

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8切れ(全体)あるうちの3切れ(部分)食べたから、3/8枚食べたと言えるわけです。

さらに「割合はかけ算」を使うんだったよね。
元の値×割合」です。

上のピザが全体で1000カロリーだとして、さっきの3切れ分のカロリーは

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「1000kcal(元=ピザ全体のカロリー)×割合」という計算で出せました。


ーーーーーー


それではおうぎ形。
おうぎ形は「円の一部と考える」のが基本です。

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上のピザの図とかなり似てるよね。

「円の一部と考える」ということは
円(全体)を出して、割合をかければいい、ということです。

おうぎ形の面積(部分)の全体は、円の面積。
おうぎ形の弧の長さ(部分)の全体は、円周です。
つまり、

 おうぎ形の面積を出したかったら
 円の面積を出して、割合をかければいい。

 おうぎ形の弧の長さを出したかったら、
 円の円周を出して、割合をかければいい。

ということです。
とりあえずやってみようか。

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この問題です。
「円の一部」ということを意識するために
こうやって描き込んじゃいます。

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ここで使える「割合(全体分の部分)」はどこを使うかというと、
360°と45°を使います。
360°が円(全体)、45°がおうぎ形(部分)だね。
面積から解いてみます。

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こうだね。
次に弧の長さを解きますが、
割合は同じなのでもう約分した状態で書いていいです。

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ということです。
まとめて書くと

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こんな感じです。
これがおうぎ形の面積と弧の長さの求め方。


ーーーーーー


おうぎ形に対しての「割合」について
もう少し考えてみます。

割合って「全体分の部分」だったよね。
ということは、角度だけじゃなくても、

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こういうふうに、
円周で全体分の部分をしたり、
面積で全体分の部分をしてもいいということです。
このどれを使ってもいい。

ちなみにさっきの問題で面積と弧の長さを出したよね。
全部「割合」にしてみようか。

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当然、全部「1/8」になりました。
やっぱり、どれを使ってもいいんだよね。


ーーーーーー


さっき適当に流した「中心角」についてもやります。

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こういう問題です。

まず問題なのは、中心角の「全体」ってなんだ?ってこと。
おうぎ形の面積の全体は「円の面積」だったし、
おうぎ形の弧の長さのときは「円周」だったね。

中心角の「全体」は「円の中心角」ということです。
そりゃあ「360°」でしょう。
それに割合をかける、ということ。

今わかってる「部分」は「3πcm(弧の長さ)」だけだよね。
だからさっきの3つのうち、使える割合は「円周」分の「弧の長さ」だけです。

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ということでした。
(円の点線描くの忘れたけど書こうね!)

ちなみに270°って本当は

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こんな形だよね。
だけどいいです無視して。

こういうふうに

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図の描いてない問題もあります。
こういうときは自分で図を描くんだけど、225°だって、

c0357199_20183077.jpeg


こう描いていいからね。
「メモ」なんだから「いつも通り分かりやすく」描くのが優先です。
(解かないよ!)


ーーーーーー


以上でおうぎ形おしまい!

 「円の一部」と考えて、
 「円」出して、
 「割合かける」だけ!

だと分かったかな?
それが分かればこっちのもんです。
もうきっと忘れません。

演習問題はさっきのと、もう1個だけやっておこうか。
きっとだいじょうぶです。
解けるまで頑張れ。


演習問題

by dekiyosite | 2015-10-03 20:23 | 数学