カテゴリ:数学( 46 )


 関連ページ(13.1. 円とおうぎ形)
 前のページ(14.1. 空間図形(体積))


コンビニにあるジュース(小さなパック)で説明すると

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体積と表面積はこういうことでした。
(紙パックだと厳密には「のりしろ」があるけど、表に出てる面積だけです)
前回は体積、今回は表面積をやります。


ーーーーーー


面積は「平面」の大きさを表すものでした。
だから立体の表面積は、開いて、平面にして考えます。

とりあえず問題。

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これをやってみます。
表面積を求めるには、まず、開く。
開いた絵のことを展開図っていうんだけど、
これがうまく描けない人が意外と多い。

こんなのメモだから、
パパっと描けるようにしちゃいます。

楽な方法教えるね。
まず横(側面)から描いちゃうんです。
上の立体は底面が四角形、だから4辺分あるということです。

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これだけ。
四角形だから4つ描けばいいだけです。
そのあと、底面を上と下つけちゃう。

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これでほぼ完成です。
そしたら、長さの情報を書き込みます。

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長さは、書き込みすぎず、
でも必要な分はすべて書きます。

まず側面積(側面の面積)から。

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これ、4枚あるけど、
結局大きな1枚として考えることもできます。

横の長さが(3+2+3+2)cm、
縦の長さが10cmです。

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次は底面積ね。

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上も下も両方合わせて底面積です。
上も下も同じだから、ひとつ出して、2倍します。

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これを合わせたのが、表面積です。

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こういうふうに、側面積と底面積を出してから足してもいいし、

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こういうふうに一気に解いてもいいです。
一気に解くときは計算ミスしないように気をつけてね。

これが表面積の基本です。
展開図を描くの、めんどくさがらないようにね。


ーーーーーー


前回やったけど、体積には2種類あります。
まず「〇〇柱」。

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そして「〇〇錐(すい)」。

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とがってないのと、とがってるのです。

まず「〇〇柱」からやるね。
さっき四角柱やったから、じゃあ三角柱。

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まず展開図だったね。
三角形だから、側面は3つです。

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こうして

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こう。
長さを書き込みます。

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長さをきちんと書き込めるように大きく描いとくんだよ。
5cm、7cm、3cmは厳密に描かなくて(も)いいからね。
あくまでメモです。わかりやすく。
三角形の情報は底辺と高さだけで書きます。必要なのだけ。

じゃあ解くね。

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ほい。
じゃあ円柱!

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展開図を描きます。
「円」で角がないから、側面はひとつです。

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ここで足りない情報があるんだけど、分かるかな。
よく見て、よく考えて。

側面の「横の長さ」がないじゃん。
縦の長さしかないから、側面積(長方形)求められないよ。
どうしよう。

側面積の横の長さは。

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ここと一緒です。円の周りの長さ。円周だね。

ここで、前の前のページでやった、
円の円周と円の面積の求め方を復習します。

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半径をrだとして、円周は「2πr」、円の面積は「π2」です。
これはもう覚えてるかな?
覚えてない人は連呼(れんこ:何度も声に出して読むこと)して覚えるんだよ。

π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2・・・
πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、π・・・

ほい覚え(たとし)ました。
じゃあ、気をつけながら解いていくよ!

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これで「〇〇柱」はおしまい!


ーーーーーー


じゃあ「〇〇錐(すい)」にいきます。

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とりあえず展開図だったね。
この場合は底面積から描きます。四角いっこ。

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そしたら周りに4つ三角。

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そしたら長さを書き込むんでした。

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これだけです。
答えるよー!

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こんな感じでした!


ーーーーーー


最後に円錐(えんすい)をやります。
みんなきらいな円錐!

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まず展開図を描きます。
底面は円。

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これに対して、側面はおうぎ形です。

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これに長さを書き込みます。

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・・・・・。
何すればいいんだ・・・。

と、ここでなってしまうことが多いです。
(展開図を描いてるだけえらい)

円の面積はたぶん大丈夫そうだよね。
問題は側面積、あのおうぎ形です。

おうぎ形に関しては13.1. 円とおうぎ形で説明してます。
そっち読んできてからがいいと思います。
なぜなら、ここは13.1.よりレベルが高いから。
そこまでの知識があるの前提で話を進めていきます。

そのページで、おうぎ形は「円の一部と考える」と説明しました。
図にそのイメージを描き込むとこんな感じです。

c0357199_13284658.jpeg


おお。
少しイメージがくっきりしました。
大きい円の半径が5cm、というふうにとらえられるね。

おうぎ形の求め方は

 ① 「円の一部」と考える
 ② 「円」を出す(面積なら面積、弧の長さなら円周)
 ③ 「割合かける」だけ!

でした。
①までは終わったということ。

じゃあ②だね。
おうぎ形の面積が必要なので、円の面積を求めます。
円の面積は「π2」。

 π2π×5×5

です。
じゃあそれに③「割合をかける」。
んで、また止まる。

割合ってなんだ。
割合は

c0357199_18351859.jpeg


こう。
全体分の部分。
全体側が円、部分側がおうぎ形です。
そこからおうぎ形の割合は

c0357199_20133183.jpeg


この3パターンがあったのでした。
全部ないじゃん。

全部ないじゃん。(2度目)
でもこの3パターンしかない。
決定的にだめなのはどれかを考え直します。

 角度・・明らかに分かっていない
 円周・・円周は分かるけど弧の長さがわかんない
 面積・・これから面積求めるんだから使えない

角度と面積から攻めても絶対ダメそう。
だから狙うは「円周」です。

円周は分かるね。

 2πr=2×π×5
 
でも弧の長さはな。
よーく見て。弧の長さ。
さっき、似たような考え方を使ってるんだから。

c0357199_13284658.jpeg


よーく見た?
わかった?

きっとわかるから、よく考えてみて。
もう、答え言うからね。

この考え方です。

c0357199_13284660.jpeg


この長さと同じじゃんね。
大きな円側の弧の長さは、小さな円の円周と長さが一緒なんです。

 2πr=2×π×3

これで、側面積は求められます。

 ① 「円の一部」と考える
  → 考えた

 ② 「円」を出す(面積なら面積)
  → π2π×5×5

 ③ 「割合かける」
  → 円周と弧の長さで割合を作る。
    弧の長さは小さな円の円周

つまり式は

c0357199_13284601.jpeg


こうなります。
だから、側面積は

c0357199_13284676.jpeg


こうです。
長かったけど、式自体はシンプルです。
意味が分かってる人にはね。

じゃあ底面積も合わせて、表面積求めるよ。

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これで答えです。


ーーーーーー


ちなみに。

円錐の側面積の求め方はね。

c0357199_13313013.jpeg


こういう一発で解く方法があります。
覚える?覚えても別にいいです。

でも、いらないよこんなの。
今解けたじゃん。ちゃんと理解したやり方でね。
円錐の問題を同じ解き方で、
あと3回以上解けばもっと理解できます。

同じ、一貫した考え方をずっと続けてれば、
理解は深くなるばかりです。
どんどん間違えなくなります。

だけど
「円錐のやり方はこれで一発!」
「この解き方はこれで解ける!」
「この問題はこれで一撃!」
これを全部覚えたら、
理解はどんどん浅くなります。
入試前に忘れるし、応用がきかなくなります。
こういう「テクニック」っていうのは、危ないんだ。
それをよく覚えててほしいなと思います。

だってその暗記を少しでも忘れたらアウトでしょ。
理解してれば、順序良く解きながら思い出せます。

さらにちなみに。
なんでその公式になるのかというとね。
半径をa、bにして、さっきと同じ解き方をしてみます。

c0357199_13313080.jpeg


こうなるから。
こんなの覚えなくていいでしょ。


ーーーーーー


ということで表面積の回はここでおしまいです。
一応、数学のページ全体としてもここでおしまいにします。
全部やった人がいたら、すごい。
きっと前より、出来るようになってると思います。
好きになってたらそりゃあいいけど、
好きまではいかなくても、
「嫌い」とか「苦手」とかじゃなくなってるといいなと思います。

最後の演習問題は前のページの体積も合わせて、
このページの復習です。


演習問題

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答え

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by dekiyosite | 2015-10-07 14:06 | 数学

 前のページ(13.1. 円とおうぎ形)


こんにちは。
図形はあと2ページです。
体積と表面積、できるようにしよう。


ーーーーーー


まず、体積と表面積って何だ?ってところから。
コンビニで売ってるパックのジュースで考えてみます。

c0357199_09202750.jpg


こんな感じ。
ジュースはすきまなく入ってると思ってね。

体積は中身全体の量です。
面積って

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こういうふうに「平面」の大きさを表すものだったよね。
だから立体の表面積は、開いて、平面にして考えます。
これが立体の体積と表面積でした。


ーーーーーー


じゃあ解き方ね。

c0357199_09301453.jpg


この図形の「体積」を出します。
ここで体積の出し方を教えるね。

 ① 底面積を出す
 ② 高さをかける
 ③ とがってたら「×3分の1」

これを図で説明します。
説明するから、必ずやってね
口も手も動かします。

 ① 底面積を出す

c0357199_09301439.jpg


「底面積」と言いながら
手で底面積をかこいます。

 ② 高さをかける

c0357199_09301479.jpg


「かける高さ」と言いながら、
手をそのまま上に持ち上げます。

 ③ とがってたら「×3分の1」

c0357199_09301434.jpg


「かける3分の1」と言いながら、
両手をキュッとしめます。

これが体積の求め方です。
教えたんだから、やってね?

体積の求め方ってなんだっけって聞くと、
「たて×よこ・・」とか(それは四角形)
「底辺×・・」とか(それは三角形)
だいたいみんな「覚えられなくて」解けないんです。

毎回こうやってイメージすること、
口に出すことで、絶対忘れません。

10問も解けば手を動かすのが当たり前になります。
「恥ずかしい」「バカらしい」って言ってて、
結局解けないほうがカッコ悪い!


ーーーーーー


しまった。
問題解いてなかったね。

c0357199_09301453.jpg


この問題でした。
まずは

c0357199_09301439.jpg


こうだから、底面積だね。
底面積(底の面積)は三角形です。
底辺×高さ×「1/2」だね。

c0357199_09310309.jpg


次は②。

c0357199_09301479.jpg


「×高さ」です。
じゃあこうだね。

c0357199_09310329.jpg


今回はとがってないので、ここで答えです。
答えるよ!

c0357199_09310311.jpg


単位は「cm3」です。
底面積で「cm2」、さらに高さで「cm」かけてるから、
体積は3乗になります。


ーーーーーー


今みたいに、上がとがってないやつを
「〇〇柱(ちゅう)」と言います。

c0357199_09310319.jpg


上がとがってるっていうのは

c0357199_09310310.jpg


こういうやつのこと。
これを「〇〇錐(すい)」と言います。
「円すい」みたいにひらがなで書いてもいいです。
とにかく、とがってるのは「〇〇すい」。

だから

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こういう立体の体積は

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まず底面積。
円だから(円は前のページで解説してるからね!)

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こう。
さらに

c0357199_09301479.jpg


次は高さだから、

c0357199_09414781.jpg


こう。
さらにさらに、
今回は円錐でとがってるから、

c0357199_09301434.jpg


かける3分の1で、

c0357199_09414721.jpg


これが式です。
じゃあ解くね。

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というわけでした!


ーーーーーー


これで空間図形(立体)の体積はおしまいです!
とにかく

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これだけ毎回やってくれれば、間違えないと思う。
このページでは演習問題なしにしようかな。
そのかわり、次の表面積のページで一緒に出します。
表面積はちょっとだけむずかしいよ。
おうぎ形のページを見といてね。


 次のページ(14.2. 空間図形(表面積))
 もくじ




by dekiyosite | 2015-10-04 09:43 | 数学

 関連ページ(★割合について)


みんないやがるおうぎ形。
ここで出来るようにしちゃおうね。

上に載せた「割合について」というページは前半だけでもいいから読んでから来てね。


ーーーーーー


さて。
おうぎ形というのは

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こういう形のこと。
扇(おうぎ。扇子(せんす)のこと)みたいな形してるよね。
別にチーズケーキ形でもいいんです。
似てるね。

おうぎ形の面積

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弧(こ)の長さ

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中心角

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の求め方を今からやります。
が、その前に「円」の知識が必要です。


ーーーーーー


円の「面積」と「円周」について復習します。

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小学校で覚えたこの公式をまだ日本語で覚えてる人も多いはず。
だけど半径を「r」、円周率(3.14・・)を「π」とします。

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とにかく面積を「π2」円周を「2πr」と連呼しまくって覚えてください。
連呼(れんこ)とは声に出して読みまくること!覚えるには連呼!

π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2・・・
πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、π・・・

はい覚えました。覚えないと始まらないからね!

ちなみに円周がなんで「2rπ」ではないのかというと「π」も数字だからです。
π」も3.14・・という数字だから、「数字・文字」の順番でいうと「2πr」なのでした。

ちょっと軽く問題やってみましょう。

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これを解きます。
公式を「覚える」かつ「忘れない」ために、
「2πr」「π2」は毎回書きます。

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という感じです。
単位は()を付けて式に書き込みます。

(「2×π×3=6cm」と書くのはダメです。
 単位がなかったのに突然単位が付くと
 「=」ではなくなるからです)

面積の方は「π×3(cm)×3(cm)」ということなので、
cmを2回かけてるよね。だから単位は「cm2」です。

円はこんな感じ。
こんな感じでもうおうぎ形にいっちゃうよ。


ーーーーーー


おうぎ形をだいたいみんないやがります。
それはなぜかというと「公式がめんどくさそうだから」。
これにつきます。
見てみる?

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こんな感じです。
弧の長さと面積はなんとなく似てるけど、
中心角の公式は参考書などでバラバラです。

これを全部覚えて、解いてくださいね。と言われるわけです。
テスト前ならまだしも、入試前まで覚えてられるかな。

なんかめんどくさそうだからみんないやになります。
だから「ちゃんと」理解してみよう。
理解すれば、忘れても思い出せます。


ーーーーーー


★割合について」のページでやったことを軽く復習します。

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割合は「全体分の部分」で出すことができたんだよね(とっても大事!)。
これはとっても大事なので、今覚えてください。

ピザ1枚を、8等分して、3切れ食べたら、何枚食べたことになるかな。
というのを割合(全体分の部分)を使って書くことができます。

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8切れ(全体)あるうちの3切れ(部分)食べたから、3/8枚食べたと言えるわけです。

さらに「割合はかけ算」を使うんだったよね。
元の値×割合」です。

上のピザが全体で1000カロリーだとして、さっきの3切れ分のカロリーは

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「1000kcal(元=ピザ全体のカロリー)×割合」という計算で出せました。


ーーーーーー


それではおうぎ形。
おうぎ形は「円の一部と考える」のが基本です。

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上のピザの図とかなり似てるよね。

「円の一部と考える」ということは
円(全体)を出して、割合をかければいい、ということです。

おうぎ形の面積(部分)の全体は、円の面積。
おうぎ形の弧の長さ(部分)の全体は、円周です。
つまり、

 おうぎ形の面積を出したかったら
 円の面積を出して、割合をかければいい。

 おうぎ形の弧の長さを出したかったら、
 円の円周を出して、割合をかければいい。

ということです。
とりあえずやってみようか。

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この問題です。
「円の一部」ということを意識するために
こうやって描き込んじゃいます。

c0357199_20133152.jpeg


ここで使える「割合(全体分の部分)」はどこを使うかというと、
360°と45°を使います。
360°が円(全体)、45°がおうぎ形(部分)だね。
面積から解いてみます。

c0357199_20133155.jpeg


こうだね。
次に弧の長さを解きますが、
割合は同じなのでもう約分した状態で書いていいです。

c0357199_20133120.jpeg


ということです。
まとめて書くと

c0357199_20133170.jpeg


こんな感じです。
これがおうぎ形の面積と弧の長さの求め方。


ーーーーーー


おうぎ形に対しての「割合」について
もう少し考えてみます。

割合って「全体分の部分」だったよね。
ということは、角度だけじゃなくても、

c0357199_20133183.jpeg


こういうふうに、
円周で全体分の部分をしたり、
面積で全体分の部分をしてもいいということです。
このどれを使ってもいい。

ちなみにさっきの問題で面積と弧の長さを出したよね。
全部「割合」にしてみようか。

c0357199_20133102.jpeg


当然、全部「1/8」になりました。
やっぱり、どれを使ってもいいんだよね。


ーーーーーー


さっき適当に流した「中心角」についてもやります。

c0357199_20183041.jpeg


こういう問題です。

まず問題なのは、中心角の「全体」ってなんだ?ってこと。
おうぎ形の面積の全体は「円の面積」だったし、
おうぎ形の弧の長さのときは「円周」だったね。

中心角の「全体」は「円の中心角」ということです。
そりゃあ「360°」でしょう。
それに割合をかける、ということ。

今わかってる「部分」は「3πcm(弧の長さ)」だけだよね。
だからさっきの3つのうち、使える割合は「円周」分の「弧の長さ」だけです。

c0357199_20183080.jpeg


ということでした。
(円の点線描くの忘れたけど書こうね!)

ちなみに270°って本当は

c0357199_20183034.jpeg


こんな形だよね。
だけどいいです無視して。

こういうふうに

c0357199_20183050.jpeg


図の描いてない問題もあります。
こういうときは自分で図を描くんだけど、225°だって、

c0357199_20183077.jpeg


こう描いていいからね。
「メモ」なんだから「いつも通り分かりやすく」描くのが優先です。
(解かないよ!)


ーーーーーー


以上でおうぎ形おしまい!

 「円の一部」と考えて、
 「円」出して、
 「割合かける」だけ!

だと分かったかな?
それが分かればこっちのもんです。
もうきっと忘れません。

演習問題はさっきのと、もう1個だけやっておこうか。
きっとだいじょうぶです。
解けるまで頑張れ。


演習問題

by dekiyosite | 2015-10-03 20:23 | 数学


このページから図形に入ります。
作図ね、ちょちょいとしかやらないくせに、
入試で出たりするからね、みんなだいたい嫌がります。

でも中学の範囲なんてたった4つだから。
区別できるようにしていけば大丈夫です。


ーーーーーー


最初に、4つを一覧にしてみます。
フリーハンドでいきます。

c0357199_18153331.jpeg


この4つ。
垂直二等分線と角の二等分線と垂線(2種)です。
これらをひとつずつ説明していきます。


ーーーーーー


ちなみにコンパス下手なひとが結構います。
コンパス苦手なひとは上からみたときに

c0357199_18160375.jpg


こんな感じになってることが多いです。
立て過ぎなんだね。
コンパスをもっと寝かして、

c0357199_18160333.jpg


こういうふうにすると結構安定して、
きれいに描けるからね。


ーーーーーー


まずは「垂直二等分線」。

c0357199_18195080.jpeg


垂直二等分線は、
垂直に、二等分する線のことだね。
実際にやってみます。

c0357199_18255185.jpeg


こういうふうに2点あります。
とりあえずA、Bと名前を付けておきました。

この2点を結んで線分(せんぶん)にします。

c0357199_18255140.jpeg


(「直線」は永遠に続く線のこと。
 どこからどこまでという線のことを「線分」といいます)

この線分ABに対して、
垂直で、二等分にする線(垂直二等分線)を作図します。

コンパスを適当にAからぐるりと引きます。

c0357199_18255114.jpeg


半円でいいです。
そしたら「コンパスの幅を動かさずに」Bからも引きます。

c0357199_18255147.jpeg


こういうふうに重ならないとだめです。

c0357199_18255133.jpeg


こうなったらだめ。
1次関数でもやったけど、直線は2点ないと書けません。
だから交点を2つ作るように、コンパスの幅を設定してね。

で、その2交点を定規で結びます。

c0357199_18255211.jpeg


ほい。
これが垂直二等分線です。
「┐」の記号は垂直の印。

でね、だいたいみんなここでおわります。
結局、垂直二等分線がなんなのか分かってない。
だから応用がきかなくなっちゃうんだな。

垂直二等分線を「理解」しよう。
垂直二等分線は、ABからのキョリが

c0357199_18301905.jpeg


ここも

c0357199_18301964.jpeg


ここだって

c0357199_18301938.jpeg


もちろんここ(中点)も、
全部同じです。
(「=」の記号は「線分の長さが等しい」という記号です)

垂直二等分線は2点A、Bからのキョリが、
等しいところが集まって出来た線なんだね。

だから垂直二等分線は「2点からのキョリが等しい」ときに
使う作図だと思っていてください。

c0357199_18323730.jpeg


たとえばこういう問題

c0357199_18345094.jpeg


直線l上にあるってところは、
とりあえず無視していいです。
「2点A、Bから等しい距離にある」ってことは
「垂直二等分線」じゃん、ということです。

c0357199_18345086.jpeg


はい引きました。
そしたら「直線l上」にあるのが「点P」だから、

c0357199_18345083.jpeg


ここが答えだということだね。
ちなみに今回の場合は

c0357199_18345073.jpeg


線分ABは引かなくてもいいね。
でも、別に引いたっていいです。
だからいつも引いとくのがいいかな。
(必要なときもあるからね)

とにかく垂直二等分線は

c0357199_18323730.jpeg


こう。
2点からのキョリが等しい」と覚えといてください。


ーーーーーー


じゃあ次、「角の二等分線」ね。

c0357199_18404286.jpeg


角の二等分線は

c0357199_18390778.jpeg


もともとこういう∠AOBがあって、
この角を二等分しろと言われてるわけです。
まずは

c0357199_18390792.jpeg


こういうふうに点Oからコンパスで半円を描きます。
そしたら、その半円とOAの交点からコンパスで

c0357199_18390749.jpeg


こう!
そしたら「コンパスの幅を変えずに」今度はOBの方から

c0357199_18390755.jpeg


こう!

そしたら直線は「2点あれば」引けるから、
「今の交点」と「点O」を繋ぎます。

c0357199_18390892.jpeg


これで「角の二等分線」完成です。
「●」は角の二等分線マークです。

角の二等分線も「理解」しようね。
角の二等分線は

c0357199_18390824.jpeg


ここも

c0357199_18390898.jpeg


ここも、
辺OA、辺OBとの距離が同じです。

つまり角の二等分線は
2辺からのキョリが等しい」ときに使う作図です。

c0357199_18404276.jpeg


問題やってみましょう。

c0357199_18433612.jpeg


こういう問題。
辺AB上というのはいったん無視。
とにかく「辺ACと辺BCから等しいキョリ」ということは
2辺からのキョリが等しい」ということです。

じゃあ辺ACと辺BCで角の二等分線引いちゃいます。

c0357199_18433654.jpeg


そしたら「辺AB上」で「点P」で答え。

c0357199_18433669.jpeg


これで答えです。
角の二等分線は

c0357199_18404276.jpeg


とにかくこういうことね。
2辺からのキョリが等しい」わけです。


ーーーーーー


垂線(すいせん)。
垂線には2タイプあります。

c0357199_18444148.jpeg


垂直二等分線は「2点からのキョリが等しい」線、
角の二等分線は「2辺からのキョリが等しい」線、
という意味がありました。

が、垂線は特に意味はありません。
「ただ垂直な線」を引くやり方です。

まずひとつめ。

c0357199_18475386.jpeg


線上に点Aがあります。
この点Aを通る、垂直な線を引きます。

まずこう。

c0357199_18475389.jpeg


点Aを通る円を描きます。
線に交点が2つできればいいです。

この交点から、
さっきの角の二等分線の要領で、

c0357199_18475394.jpeg


こう。
そして(コンパスの幅を変えずに)

c0357199_18475318.jpeg


こう。
そしたら、直線を引くのに必要な2点
(交点と点A)が出来たので、線を引きます。

c0357199_18475351.jpeg


これが垂線ひとつめ。
続いて、

c0357199_18510555.jpeg


こう。
今度は線と離れて点Aがあります。
ここを通る垂直な線を引きます。

まず点Aからコンパスで

c0357199_18510644.jpeg


こう。
これで線に2つ交点ができるね。
そしたらさっきの要領で、

c0357199_18510696.jpeg


こうして

c0357199_18510609.jpeg


こう。
そしたら「この交点」と「点A」を

c0357199_18550911.jpeg


こう!
これが垂線ふたつめです。

例題ね。

c0357199_18550958.jpeg


「円の接線(せっせん)」とは

c0357199_18550993.jpeg


こういうふうに円周上に1点で接する線のことです。
この接線は必ず「円の中心から引いた線と垂直」になります。
ちょいむずかしい?

まあとにかく。
さっきの問題は

c0357199_18551008.jpeg


こうして

c0357199_18551047.jpeg


こうして

c0357199_18551030.jpeg


こう、こうして

c0357199_18551061.jpeg


こうしちゃえば、接線完成です。
以上、垂線の解説でした。


ーーーーーー


改めて4つ載せます。

c0357199_18565583.jpeg


フリーハンドでいいから、
この一覧をパッと描けるようにしとくといいです。
これが道具だからね。
道具が手元にないと解けないから。

演習問題は、ここでやった問題に加えて、3つ。
この4つの道具だけで絶対にできるから、よーく考えて解いてね。
「2点から等しい」「2辺から等しい」がヒントです。


演習問題

(0)作図の4パターンをフリーハンドで(ポイントも含め)書きなさい。
   以下の3つの画像の問題を解きなさい
c0357199_18345094.jpeg

c0357199_18433612.jpeg


by dekiyosite | 2015-09-18 05:00 | 数学

 前のページ(11.1. 比例を飛ばした理由)


前のページ「比例を飛ばした理由」では、
比例は結局1次関数の仲間だし、
「関数の考え方」が身についていれば、
1次関数だろうが2次関数だろうが比例反比例だろうが、
なんとかなるよ、という話をしました。

ここでは反比例だね。
たぶん反比例きらいなひと多いと思う。
グラフ変だからね。

でもまあやっていこう。
このページで終わらせちゃいます。

座標の打ち方とかもわからない人は、
9.1. 1次関数(グラフの描き方、読み取り方)の最初で解説しているので、
そこだけ読んできちゃってください。


ーーーーーー


反比例の式は

c0357199_21043234.jpeg


こんなんで、グラフは

c0357199_21005450.jpeg


こんなんです。
1次関数のときも2次関数のときも
「式からグラフ」「グラフから式」ができるのがまず大切だ
って話をしてました。

そういうアプローチで進めていきます。


ーーーーーー


まず「式からグラフ」ね。
まずは

c0357199_21043234.jpeg


この式を覚えてください。覚え方はいつも「連呼(れんこ)」!
何度も声に出して読む。
ほら小さい声でいいから!(声には必ず出す)

「yイコールx分のa」「yイコールx分のa」「yイコールx分のa」「yイコールx分のa」「yイコールx分のa」「yイコールx分のa」「yイコールx分のa」「yイコールx分のa」「yイコールx分のa」「yイコールx分のa」「yイコールx分のa」「yイコールx分のa」「yイコールx分のa」「yイコールx分のa」「yイコールx分のa」

何度も読んだら覚えないほうが変です。
覚えないと進めないからね。まず覚えましょう。

え?
なんだって?!
aとxがどっちが上でどっちが下かわからなくなるって!?

そんな戸惑い想定済みです。

前のページでやった比例の式は

c0357199_20595151.jpeg


こうでした。
これを踏まえて次の解説をどうぞ。

c0357199_21052696.jpeg


ね。
これなら忘れなそうです。

え?
なんだって?!
こんなやり方めんどくさいって!?

ばかやろー!
めんどくさがって、勘で覚えてたら、
いざというときに手がかりがなくてわからないでしょうが!
多少遠回り(に見え)ても、理解してれば「思い出せる」んです。
忘れてもね。

反比例をやってる時期ならいいけど、
2年後の受験勉強の時期とかも、確実に覚えてる自信がある?
模試ででてきたときに「反比例の式忘れちゃったからホントはもっと点高かったよ」とか言わないな?
(言うかも・・)と思ったら、もっかい上の解説、よーく読んどきなさい。


ーーーーーー


さて。
式を覚えたところで本題の「式からグラフ」です。

c0357199_21113209.jpeg


こういう式を用意しました。
反比例のときはとにかくどんどん代入です。

 x=1を代入すると、
 y=6/1=6だね。
 (1,6)です。

c0357199_21113274.jpeg


はい打ちました。
あとはどんどん代入です。

 x=2を代入すると、
 y=6/2=3で、(2,3)

 x=3を代入すると、
 y=6/3=2で、(3,2)

x=4とx=5は答えが分数になりそうなので無視します。

 x=6を代入すると、
 y=6/6=1で、(6,1)

(2,3)(3,2)(6,1)の点を全部打ちます。

c0357199_21113242.jpeg


こんな感じね。
今(1,6)(2,3)(3,2)(6,1)の点を打ちました。
反比例ではこの点の「符号全部逆バージョン」も打てます。
つまり(-1,-6)(-2,-3)(-3,-2)(-6,-1)
もちろん打ちます。

c0357199_21113299.jpeg


打ったら繋ぎます。

c0357199_21113220.jpeg


これでおしまい。
反比例のグラフは「双曲線(そうきょくせん)」といって、
ふたつのグラフが出てくるけど、これで1セットです。

こういうふうに

c0357199_21113218.jpeg


軸の向こうに行かないように気をつけてください。

じゃあもうひとつね。

c0357199_21393834.jpeg


今度はマイナスがあります。
でもさっきと同じ。代入です。

 x=1を代入すると、
 y=-8/1=-8で、(1,-8)

 x=2を代入すると、
 y=-8/2=-4で、(2,-4)

 x=4を代入すると、
 y=-8/4=-2で、(4,-2)

 x=8を代入すると、
 y=-8/8=-1で、(8,-1)

(x=3,5,6,7は分数になるので省略)

ということで
(1-8(2,-4)(4,-2)(8,-1)を打ちます。

c0357199_21424503.jpeg


そんで反比例ではこの点の「符号全部逆バージョン」も打てたんだよね。
(実際にx=-1とかを代入してみれば理由が分かります)

(1,-8)(2,-4)(4,-2)(8,-1)の全部逆バージョン。
1,8)(2,4)(4,2)(8,1)です。

c0357199_21393907.jpeg


あとは結ぶだけ。

c0357199_21393905.jpeg


ほい。
これで「式からグラフ」OKです。

特にマイナスの方は

c0357199_21393922.jpeg


俺もこうして最後に式を書くまで間違いに気づいてなかったくらい。
気をつけようね。


ーーーーーー


「グラフから式」の前に「式の決定」をやります。

c0357199_21430705.jpeg


こういう問題です。
1次関数でも2次関数でも式の決定はやってきたけど、
最初にやることはいつも同じ。

c0357199_21472043.jpeg


こうやって、反比例なら反比例の式を書くんでした。
そして問題文。
x=3とy=-4とy=6があるけど、
x=3とy=-4がペアです。
y=6をいったん無視します。

c0357199_21472009.jpeg


もちろん計算します。

c0357199_21472033.jpeg


aが出たら

c0357199_21481865.jpeg


こうして反比例の式が出ました。
そしたら使ってなかった「y=6」です。

c0357199_21493303.jpeg


ここでポイントです。
というかこのあとどうすればいいか分かるかな。
式の決定のやり方は基本1次関数や2次関数のと同じです。
でも反比例ではこれが出てくるのでここでやることにしたんです。
さて。どうしよう。

やり方は2つあります。
だけどここでは1つだけ教えておくね。

c0357199_21511194.jpeg


方程式の分数は「ひっくり返しOK」なんです。
だからさっきの続き。

c0357199_21511124.jpeg


という式変形ができる、ということです。
答え。

c0357199_21535355.jpeg


というわけでした。


ーーーーーー


じゃあ「グラフから式」ですが、
もうできます。

反比例の式は「a」だけ求めればいいよね。
文字がひとつだけなので、1点分かればいいんです。

c0357199_21580696.jpeg


こういうグラフの

c0357199_21580628.jpeg


どこでもいいから1点探して

c0357199_21580655.jpeg


はい答え。
これで「グラフから式」はOKです。


ーーーーーー


これで反比例はおわり。
できたかな。
できるまで何度もやってみようね。

関数はやればやるほど得意になるはずなの。
一貫した考え方があれば、
1次関数だ2次関数だでは迷わなくなるはずです。

連立方程式を手に入れたら1次関数、
2次方程式を手に入れたら2次関数を、
何度もやって、関数ごと得意になってね。


 もくじ




by dekiyosite | 2015-09-11 12:58 | 数学

 1次関数基礎
 9.1. グラフの描き方、読み取り方
 9.2. 式の決定

 2次関数基礎
 10.1. グラフの描き方
 10.2. 式の決定、グラフの読み取り


通常「比例反比例」「1次関数」「2次関数」
と進めていく関数の分野を、
このサイトでは比例反比例を後回しにしていました。

1次関数と2次関数はどっちも、
「関数の考え方」を使います。
まったくの別物ではありませんでした。
その関数の考え方が身についたあとなら、
比例反比例は全然難しくなくなります。

苦手な生徒は全部がバラバラだと思ってしまいます。
これもやらなきゃ、それもやらなきゃっていつも頭は混乱。
だけど同じ考えでできるようになれば、
今よりもずっと楽になるはず。
そう思って進めてきました。

だからこの順番にしたんだけど、
1次関数以降をやっていない中1生には
ちょっと申し訳ないことをしたかもしれません。

以下に比例を飛ばした理由を、
もう少し具体的に話していきます。
1次関数をやってない人にもできるだけわかるように。
(できれば9.1.だけでも読んどくといいです)


ーーーーーー


1次関数はこんな式でした。

c0357199_18080296.jpeg


1次関数は「直線」の式だったんです。

b(切片「せっぺん」)だけに着目してみます。
bの値を変化させるとこんなふうに動くのでした。

c0357199_18132327.jpeg


「y=x」までは同じなのに、
その後のbの値が変わると上に行ったり下に行ったりしています。

切片は「y軸(縦の軸)との交点」のこと。

bの値が0なら原点、
bの値が増えれば全体的に上に、
bの値が減れば全体的に下に移動するのでした。

ここでようやく、比例の式を見てみます。

c0357199_20595151.jpeg


気づいたかな。
1次関数は「y=ax+b」
比例の式は「y=ax」です。

1次関数のbがない(b=0)やつが比例なんです。
b=0、切片(y軸との交点)が必ず0ということです。
つまり

c0357199_18180772.jpeg


こういうふうに、必ず原点を通るということ。
これが比例の式です。

要は比例も1次関数のひとつなの。
だから1次関数から教えました。

もちろん1次関数よりは簡単になります。
グラフは全部原点から描けばいいです。

式の決定も、1次関数は「y=ax+b」なので、
「a」も「b」も求める必要がありました。
だから式の決定のときも2点必要だったよね。
でも比例は「y=ax」で「a」だけなので、
必要なのは1点だけでよくなります。

中1でも、ちょっとやる気があるなら、
いきなり1次関数をやったって全然構いません。
1次関数に入る前に、方程式の全ページと、
そのまま5.1. 連立方程式(基本)をクリアしてみてください。
計算はどうせ超重要だしね。
そしたら1次関数の説明も理解できると思います。


ーーーーーー


ひとつだけ付けたしします。

「比例」と「反比例」という言葉は、
日常生活で結構使います。テレビでもよく出てきます。
これは知っておくと便利なので、その話を。

比例のグラフは

c0357199_18180772.jpeg


こうで、
反比例のグラフは(次のページでくわしくやるけど)

c0357199_21005450.jpeg


こんな感じです。
これは

c0357199_21010257.jpeg


ざっくり言うとこういう仕組みになっています。

 比例は xが増えるyも増えるxが減るyも減る)。
 反比例はxが増えるyは減る (xが減るyは増える)。

ということ。
もっとざっくり言うと

 比例は 片方が増える片方も増える
 反比例は片方が増える片方は減る

という関係です。
この関係から、よく使われるんです。
たとえば

・食べれば食べるほど体重が増える
 → 食べる量と体重は比例してる

・動けば動くほどカロリーが消費される
 → 動く量と消費カロリーは比例してる

・お腹が減れば減るほど元気がなくなる
 → お腹の減り具合と元気は比例してる

なんてのが比例関係。

・動くほど疲れるじゃん。
 動作と疲労は比例してるんだから。

なんて使い方もできます。
これが比例ね。

一方、反比例は

・買えば買うほど財布の中身が減る
 → 買う量と財布の中身は反比例

・書けば書くほどシャーペンの芯がなくなる
 → 書く量と芯の残りは反比例

・服の面積が減れば減るほど露出度が増す
 → 服の面積と露出度は反比例

こういうふうに、
片方が増えると片方が減って、
片方が減ると片方が増えるのが反比例です。

・勉強するとゲームする時間減るじゃん。
 勉強時間とゲームする時間は反比例してんだから。

なんて使い方も。

こういう使い方をよーくします。
知っておくと便利だしお得だよ。
思いついたら自分でも使ってみてください。


ーーーーーー


というわけで「比例を飛ばした理由」でした。
まあ、大丈夫かな。

関数は苦手な人が多いけど、
1次関数も2次関数も反比例も、
「たったひとつの式」で「関数の考え方」を使うだけだからね。
慣れたらこっちのもんです。

もしこのサイトを気に入ってくれたら、
今の学校の範囲とは関係ないところだって
どんどんやってくれていいです。
そしたらすごいよ。


 次のページ(11.2. 反比例ももう出来る)
 もくじ




by dekiyosite | 2015-09-11 12:55 | 数学

 前のページ(10.5. 2次関数(面積))


いよいよ2次関数も最終ページです。
つまり中学の関数がおしまい。
よくがんばったね。

このページの動点(どうてん)の問題は、
応用問題という扱いをよくされます。
実際、すごく簡単なわけではありません。
だから入試やなんかでよーく出題されるんだよね。

だけど順序立ててやればきっとできる。
このサイトは基礎が多めだけど、
基本的なとらえ方から、やってみます。
このくらいできるようにするよ。


ーーーーーー


2次関数のこのページを書き始めてから、
1次関数の動点問題も急きょ作ることにしました。

動点の問題は2次関数だとかそういうのはあまり関係なくて、
「動点の考え方」ができるかの方が重要です。
2次関数ができる人はいきなりこのページからやるのも、
まずはそこからやってみるのもいいと思います。

 9.4. 1次関数(動点)


ーーーーーー


さあ問題です。

c0357199_12262117.jpeg


はい。
かなりやばそうな問題だね。
みんなが嫌そうな要素をだいたい入れました。

文章題で大切なのは、
問題の見た目でやられないこと
落ち着いて、落ち着いて読みながら、
図にメモをたしたり、読み取っていきます。

AB=6cm、BC=8cmの長方形ABCDがある。

c0357199_12262118.jpeg


点Pは辺AB上を秒速1cmでBからAまで進み、
Aに着くと止まる。

c0357199_12262170.jpeg


点Qは辺BC、CD上を秒速2cmの速さで
BからCを通ってDまで進む。

c0357199_12262234.jpeg


点P、点QがBを出発してからx秒後の
PQの面積をycm2として

c0357199_12283478.jpeg


次の問いに答えなさい。
とのことでした。

ここからyをxの式で表せよ、ということです。


ーーーーーー


点Pと点Qの秒速も違うし、
点P止まったりする。
どうすればいいんだろう。

迷っていいです。
そのまま突っ込んで混乱するよりずっといいです。

動点の問題が嫌な理由は「動く」からだよね。
動くのが嫌なら「止めればいい」じゃん。
という話は1次関数のときにもしました。

でも、いつ止めればいいかという判断が、
今回はちょっと難しいです。
難しいポイントは2つあります。

 1.点Qが辺BCから辺CDに移るとき
 2.点PがAに着いて止まるとき

このときにどうやら式が変わりそうです。

でも点Pが止まるときが、
点QがBC上かCD上かがわからない。

だから今回は先に、xの変域(秒)を調べてみます。
2点同時はむずかしいから、まず点Pから。

点PはBから動くから、
Bにいるときはそりゃあ「0秒」です。

c0357199_12340156.jpeg


そこからPはAに進むんだよね。
辺ABの長さは6cm。
点Pは秒速1cm(1秒に1cm)だから、
Aに着くときは6cm分の「6秒」です。

c0357199_12340195.jpeg


これで点Pの動きが分かりました。
0秒から6秒で辺AB上を動いて、
このあと点Pは止まるってことだね。

じゃあ続いて点Q。
点QもBスタートです。

c0357199_12340171.jpeg


そこからまずCまで進みます。
辺BCの長さは8cm。
点Qは秒速2cm(1秒に2cm)。
秒数の2倍分進んでます。
だからCまで8cm進むには「4秒」だね。
(4秒×2=8)

c0357199_12340105.jpeg


点QはそのCからDまで進みます。
辺CDの長さは6cm。
点Qは秒速2cmだから、
Dまで6cm進むには「3秒」。
(3秒×2=6)

すでにCまでに4秒経ってるので、
Dまでは4+3で「7秒」だね。

c0357199_12340140.jpeg


これで点Pと点Qの進み方が出ました。

 点P・・AB上(0秒から6秒)

 点Q・・BC上(0秒から4秒)
     CD上(4秒から7秒)

ということです。

点Qは7秒まであるのに点Pは6秒までだよね。
その6秒から7秒の間に点Pは止まってる、
ということじゃないかな。

つまりこの問題の区切りは

4秒(点Qの辺が変わる)」と
6秒(点Pが止まる)」の2箇所です。

 0秒から4秒まで
 4秒から6秒まで
 6秒から7秒まで

をやれば、この問題は解けそう。
秒はxだったから、こういうのを

 0≦x≦4
 4≦x≦6
 6≦x≦7

というふうに書くのでした。


ーーーーーー


① 点QがBC上

じゃあ実際に解きはじめよう。
BC上ということは「0≦x≦4」です。

動点の問題は動くから難しい。
だから「止めればいい」んだよね。
止めるというのは、写真を撮るようなイメージです。
そのシーンの図を描いてみるということ。

c0357199_12375665.jpeg


点Pは秒速1cmだからBP間は「xcm」、
点Qは秒速2cmだからBQ間は「2xcm」でした。
図はフリーハンドでいいからね。

さあ。三角形の公式はこうでした。

c0357199_12382120.jpeg


底辺も高さも求まってるから、
△BPQの面積はもう求められそうです。

c0357199_12392900.jpeg


求まったね。
2次関数でした。

c0357199_12393019.jpeg


こんな感じ。


ーーーーーー


② 点QがBC上

点QはBC上を「4秒から7秒」で動くんだけど、
「4秒から6秒まで」「6秒から7秒まで」で分けるよ、
というのはさっきやったよね。
だから

② 点QがBC上
  (4≦x≦6のとき)

という感じです。
じゃあ動きを止めるよ。

c0357199_12464327.jpeg


こういう三角形になるからね。
こんなミスをしないように。

c0357199_12474370.jpeg


BPQがy、だからね。

あれ?
「2x」って書かなくていいの?って思うかな。
2xは

c0357199_12485085.jpeg


ここです。このL字型のところが「2xcm」。
点QはBからスタートしてるからね。
今回は使わなそうなので書きませんでした。

△の高さは底辺と垂直だったよね。
だから図みたいに、底辺BPに垂直なところ、
「8cm」が高さになります。

c0357199_12500925.jpeg


もう答え。


ーーーーーー


じゃあ場合分けラストだね。

② 点QがBC上
  (6≦x≦7のとき)

写真撮ります。

c0357199_12512127.jpeg


このときは点PはAに止まってるので
BPの長さはABの長さと同じ、6cmです。

高さはさっきと同じ8cmだね。
(長さを求めるところは1次関数の方が難しめでした)

じゃあ答えです。

c0357199_12513050.jpeg


まとめると

c0357199_12521267.jpeg


こんな感じでした。


ーーーーーー


(2)x、yの関係をグラフに表しなさい。

じゃあ最後の問題です。

c0357199_12551865.jpeg


こういうグラフに書いていきます。
まずはさっきの式を一覧にします。

c0357199_12560186.jpeg


まず「0≦x≦4」です。
この区間は「y=x2」で2次関数だね。
2次関数の描き方

c0357199_12561089.jpeg


こうだね。
4秒までだけです。

そしたら「4≦x≦6」で「y=4x」。
こういうのは、終点のx=6を求めちゃうんです。

 y=4×6
  =24

だね。
その点を打って、

c0357199_12561035.jpeg


繋いじゃいます。

c0357199_12564011.jpeg


これだけ。
「y=4x」は1次関数なので「直線」だね。

じゃあ最後。
「6≦x≦7」で「y=24」。
6秒から7秒の間はずっとy=24ということです。
(7,24)に点を打って結べばいいよね。

c0357199_12565415.jpeg


これで答えです。
おしまい。


ーーーーーー


このあと比例と反比例も軽くやるけど、
これで一応中学の関数はおしまいです。

中学の数学はだいたい、
1学期「計算」2学期「関数」
3学期「それ以外」という配分です。

それだけ関数のしめる割合は大きいからね。
得意にしとくとなにかとお得です。
困ったらいつでも戻ってきてください。

演習問題は上の問題と同じ問題。
がんばれ!


演習問題

c0357199_12262117.jpeg



 11.1. 比例を飛ばした理由
 もくじ


c0357199_12521267.jpeg


c0357199_12565415.jpeg





by dekiyosite | 2015-09-03 09:15 | 数学

 前のページ(10.4. 2次関数(変域))


2次関数の面積問題をやります。
グラフの面積問題はテストでも入試でも出ます。
苦手な人が多いのは知ってる。
だけどほぼ毎回出るからね。
出来るようにしちゃっときましょう。


ーーーーーー


面積問題の基本はすべて
9.3. 1次関数(面積)で話しました。

もうこれがほぼすべてです。
面積問題のやり方は同じだから、
9.3.ができれば、2次関数だろうがきっと余裕。

c0357199_02083181.jpeg


こういう問題とか

c0357199_02184157.jpeg


こういう問題までやってるからね。
面積問題を出来るようにしたかったら9.3.をクリアしてください。
このページは9.3.の知識を前提で進めていくからね。


ーーーーーー


それでは2次関数の問題です。

c0357199_17371273.jpeg


こういう問題です。
前に文章題をやったときに言ったけど、
こういう問題は「読みながら書き込んで」いきます。
やってみようか。

上の図のように関数y=2x2

c0357199_17442845.jpeg


直線(直線AB)のグラフがあり、
2点A、Bで交わっている。

点Aのx座標は-2

c0357199_17512420.jpeg


点Bのx座標が5である。

c0357199_17512467.jpeg


△AOBの面積を求めなさい。

という問題でした。

三角形の面積の問題は

 ① 全ての点を求めて
 ② 三角形だけを取り出せば

求められたよね。
9.3.でやりました。

だからとりあえずの目標は
点A、点Bを求めることです。

求めたい点があったら「どこを通ってるんだろう」
と考えるのがコツです。

たとえば点Aはどこを通ってるかな。

c0357199_17512467.jpeg


点Aは「y=2x2」と「直線AB」を通ってます。
直線はまだ分からないけど「y=2x2」は分かってるからね。
そりゃあ代入します。

c0357199_17492495.jpeg


こうです。こうだよね。
点Aが分かったので、すぐにグラフに書き込みます。

c0357199_17530879.jpeg


次は点Bだね。
点Bも「y=2x2」と「直線AB」を通ってます。
だから代入だね。y=2x2に。

c0357199_17532168.jpeg


ほい求まりました。
じゃあ書き込みます。

c0357199_17463571.jpeg


よし。
これで△AOBの点A、点B、点Oすべて求められました。
(点Oは原点だから(0,0)だよね)

点がすべて求まったら、
三角形だけを取り出して描くんでした。

c0357199_17554469.jpeg


はいこうです。

ん?
これ三角形の面積求められるかな。

求められません。
9.3.で話したけど、xy平面のグラフでは
x方向(横方向)とy方向(縦方向)の長さしか
基本求められなかったんです。

上の図、全部斜めの線だもんね。
これだと求められません。
やべえ。

もう1回グラフを見てみます。

c0357199_17463571.jpeg


△AOBを、右半分と左半分に分けられないかな。
直線ABとy軸の交点を適当に「C」と名づけてみようか。

c0357199_17571688.jpeg


この「C」ってどうやったら求められる?
この点Cは「y軸」と「直線AB」を通っています。
直線ABってさっきはわからなかったけど、
点Aも点Bももう求めたんだから、求められるよね。
直線は2点あれば求められたんでした。
連立だったよね。

c0357199_17573708.jpeg


はい求まりました。
y=6x+20ってことは、
y軸との交点の点Cは切片なんだから、
(0,20)ということです。
全部書き込みます。

c0357199_17594073.jpeg


よし。
そしたらさっきの取り出した図は

c0357199_18040033.jpeg


こうなります。
△AOB=△AOC(左側)+△BOC(右側)
で求めればいいよね。

三角形の面積は

c0357199_18041373.jpeg


だったので、底辺とか高さの「長さ」を求めなきゃね。
長さは「さいご-さいしょ」で求めるんでした。
書き込んでいきます。

c0357199_18070024.jpeg


ここが1番くらい肝心だからね。
「さいご-さいしょ」が分からなかったら
絶対に9.3.でやってきてね。できるようになるから。

じゃあ解きます。

c0357199_18092792.jpeg


これで答えです。
何度も言うけど9.3.ができれば
(めんどくさいだけで)かなり簡単です。


ーーーーーー


もうおしまいにします。
演習問題は上の問題と、
もう少しだけ頭を使う問題の2問。

これがクリアできれば、
面積問題はだいぶ平気なはずです。


演習問題

c0357199_18114455.jpeg

c0357199_18455263.jpeg



 10.6. 2次関数(動点)
 もくじ


答え

(1)の答えは
上の解説を参照してください。

c0357199_18490429.jpeg


c0357199_18490499.jpeg


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by dekiyosite | 2015-09-03 09:12 | 数学

 2次関数の基本

 前のページ
 10.3. 2次関数(変化の割合)


このページでは変域をやります。
どっからどこまででしょうってやつだね。

ここはみんな意外と簡単じゃんって油断して、
だいたいミスします。
絶対に間違えないやり方でやっていこうね。
すぐに慣れます。


ーーーーーー


変域って不等号(≦とか<とか)が出てくるやつです。
とりあえず問題ね。

c0357199_10432321.jpeg


こういう問題です。
y=xって普通グラフで描くと

c0357199_10432352.jpeg


こんな感じだったよね。
(自分用のメモなのでxとかyとかを書くのを省いています)

問題文の「1≦x≦3」をxの変域といいます。
x(横方向)が動く範囲のことです。

だから「1≦x≦3」は
「xが1から3までですよ」という意味です。
さっきのグラフの

c0357199_10432337.jpeg


この部分のことです。
このメモを変域の問題では必ず描きます。

ここから「yの変域」を求めていきます。
「y(縦方向)がどこからどこまで動くか」だよね。
次にグラフにこう書き込みます。

c0357199_10432345.jpeg


そしたら「x=1」「x=3」を
「y=x」に代入します。

「x=1」代入でy=1から「y=1」
「x=3」代入でy=3から「y=9」

それを書き入れます。

c0357199_10432394.jpeg


こうだね。

(1と9の位置が近すぎるけど、
 メモなので正確じゃなくていいです。
 分かればいいよね)

だからy(縦方向)は1から9までと分かりました。
答え方は

c0357199_10432329.jpeg


こんな感じでおうけいです。
これが変域の基本の基本。


ーーーーーー


基本あと2パターン。

c0357199_10542551.jpeg


このときもまずグラフのメモです。

c0357199_10542672.jpeg


こうだね。
これにいろいろ、
代入したりして書き込んで、

c0357199_10542670.jpeg


答えです。

・・ん?
間違えなかった?

「1≦x≦4」だからって言って
c0357199_10542688.jpeg


必ずこうなるわけではありません。
それを防ぐためにグラフのメモを描いてるからね。
ぱぱぱ、でいいから必ず描きましょう。
というかパパパっと描けるようにしといてね。


ーーーーーー


基本最後!

c0357199_11044379.jpeg


こういう問題。
とりあえずメモ描こうね。

c0357199_11044328.jpeg


この問題は原点を通りました。
2次関数はy軸で左右対称だから、
「-2」と「5」でy軸から遠くなるほうを、
極端に遠く描いといてください。

(上の図も「5」のほうを長く遠く描いてるよね。
 メモだから分かりやすく。)

上のグラフさ、指でなぞってみると

c0357199_11044325.jpeg


こんな感じです。

ということは

c0357199_11044329.jpeg


こうではない!
ということはもう明らかだよね?

だって1回下がって、上がってるんだもん。
実際の変域は

c0357199_11044400.jpeg


ここです。
ここだよね。

だから「x=-2」の方は代入しなくていい、
ということです。

「x=5」だけを「y=3x」に代入して

c0357199_11044484.jpeg


これで答えです。


ーーーーーー


じゃあひとつ応用やろう。

c0357199_11431447.jpeg


前のページでも言ったけど、
見た目でやられないようにね。

難し「そう」な問題のときは

 ① ていねいに読む
 ② とにかく手を動かす

でした。

さっきまでは一番最初にグラフのメモを描いてたよね。
でも今は描けません。
だって

c0357199_11431461.jpeg


これが分からないから。
これをまず調べます。

「0≦y≦18」に着目します。
これ、y(縦方向)がプラスですよってことだよね。
じゃあ

c0357199_11431496.jpeg


こっちじゃん。
そしたらもうできます。

c0357199_11431432.jpeg


2次関数は1点が分かれば求められたけど、
●に塗りつぶしてるところ、(3,18)だよね。
じゃあ代入です。
このやり方は10.2.で練習してたね。

c0357199_11431477.jpeg


これで答えです。
応用問題だったけど、
基本はさっきと同じはずだもん。
さっきのように解けるところから攻めるしかないよね。


ーーーーーー


あれ!
変域簡単だったね!

みんなメモ描くのめんどくさがるけど、
それは「慣れてないから」です。
慣れればこっちのほうが絶対楽だからね。

演習問題はみっつ。
絶対解けるようになってね。


演習問題

c0357199_11101502.jpeg

c0357199_11101560.jpeg

c0357199_11500228.jpeg



 10.5. 2次関数(面積)
 もくじ


答え

c0357199_11101524.jpeg


c0357199_11101507.jpeg


c0357199_11500304.jpeg





by dekiyosite | 2015-09-03 09:09 | 数学

 10.1. 2次関数(グラフの描き方)
 10.2. 2次関数(式の決定、グラフの読み取り)


2次関数の基本は10.2.でおしまいです。
式からグラフと、グラフから式が大切だったね。

1次関数では変化の割合と変域のページを省いていたんだけど、
2次関数ではいれていきます。

今日は変化の割合。
変化の割合ってなんなんだっていう説明は後でします。
とりあえず求められるようにしちゃいましょう。


ーーーーーー


1次関数でこういう説明があったの覚えてるかな。

c0357199_08284475.jpeg


「a」の説明を読んでね。
1次関数の「a」は、
「直線の傾き」で「変化の割合」で「xの増加量 分の yの増加量」でした。

 たとえば1次関数「y=-3x+6」の変化の割合は、
 傾きaを答えればいいから「-3」でした。

だけどaが変化の割合なのは1次関数だけです。
2次関数の「y=ax」のaはまったく関係ない。

でも上の説明で、いつも使えるのもあります。

c0357199_08284471.jpeg


これ。
「変化の割合」は「xの増加量 分の yの増加量」です。
この式は2次関数でも使えます。
(たまたま1次関数は、この式と傾きaが一緒だっただけ)

分母と分子の、
どっちがxでどっちがyかは、
1次関数のグラフの描き方が頭に入ってれば覚えられます。
「x方向に2、y方向に3」とか、
「2行って3上がる」とかやったもんね。そのままです。

まあ暗記といったらいつも通り連呼(れんこ)だね。
声に出して音読しまくる。これだったよね。
xの増加量 分の yの増加量、xの増加量 分の yの増加量、xの増加量 分の yの増加量、xの増加量 分の yの増加量、xの増加量 分の yの増加量、xの増加量 分の yの増加量、xの増加量 分の yの増加量、xの増加量 分の yの増加量・・
何回も読んでたら覚えないほうが難しい。
覚えたら次行きましょ。


ーーーーーー


もうひとつだけ知識つけておきます。
「増加量」についてです。

c0357199_08284471.jpeg


この式の「増加量」って、分かる?

「増加量」っていうのは
どこからどこまで増えたか」ということ。
「どこからどこまで」という考え方は
「長さ」とか「距離」とかと一緒です。

9.3. 1次関数(面積)にそういう解説を入れてました。
簡単に載せるね。

c0357199_01120241.jpeg


とにかく「長さ」も「キョリ」も「変化の割合」も、
さいご-さいしょ」をやれば出る、ということです。

さあ。これで問題に行けるよ。


ーーーーーー


さて。
もういっこ教えたいこともあるんだけど、
とりあえず実践しながら身につけましょう。

c0357199_12160881.jpeg


この問題ね。
とりあえず「変化の割合」の問題なんで、
こうします。

c0357199_12160880.jpeg


変化の割合って「a」とか「b」みたいな文字がないので、
こうやって()で囲んで言葉で書いちゃってください。
()で囲んどけば大丈夫です(たぶん)。

そしたらこの式

c0357199_08284471.jpeg


だね。

問題文の「xの値が1から4まで増加」を使って、
「増加量」を出します。

「1から4まで」だから
さいしょが「1」、さいごが「4」です。
だから「さいごさいしょ」は「」です。

c0357199_12160836.jpeg


上の分子も増加量(さいご-さいしょ)だから、
とりあえず「-」だけ書いてください。

c0357199_12160832.jpeg


ここからがポイント。
そういえば式の「y=2x」を使ってないよね。
ここで使います。

手書きで説明するね。

c0357199_12160835.jpeg


こういうふうに、
下に書いた「さいご-さいしょ」を、
それぞれ「y=2x」に代入して同じように書き込みます。

y=2x」に4を代入して「32」。
y=2x」に1を代入して「2」だね。

c0357199_12160833.jpeg


こういうふうに代入します。
「4-1」をなんで「3」って書かないんだろう?
って思ってた人もいるかもしれないけど、
「4-1」って書いといた方が式が作りやすいからでした。

じゃあもう計算するだけ。

c0357199_12160845.jpeg


こうです。
単位はなくていいです。


ーーーーーー


練習でもう1問やってみます。

c0357199_12193842.jpeg


似てる問題だね。
まずはこう書きます。

c0357199_12193856.jpeg


さっきは初めての説明だから省いてたけど、
最初に「-」は分母分子どちらにも書き込んどいてください。
(理由は後で説明します)

そしたら問題文の「xの値が-3から-2まで」から。
-3が「さいしょ」、-2が「さいご」です。
「さいご-さいしょ」だったよね。書き込みます。

c0357199_12193861.jpeg


マイナスなんで()して書き込んでください。
このマイナスとさっきのマイナスがゴチャゴチャになるから、
「-」は最初に書き込んどいてと言っていたのでした。

そしたら次は分子(yの増加量)だね。
それぞれ「y=2x」に代入します。

「x=-2」代入でy=2×(-2)だから「y=8」。
「x=-3」代入でy=2×(-3)だから「y=18」。

これを書き込みます。

c0357199_12193802.jpeg


じゃあ計算です。

c0357199_12325885.jpeg


これで答えね!


ーーーーーー


ちなみに今の答えから。

c0357199_12325859.jpeg


約分する前のこの部分で、
「xの増加量」と「yの増加量」が分かります。

だから「xの増加量」「yの増加量」「変化の割合」を
ぜんぶ求めろって言われたら、
変化の割合だけ求めればなんとかなるからね。


ーーーーーー


次。

c0357199_12361842.jpeg


難しそう?
見た目だけでやられないようにね。
このサイトで突然できない問題出すわけないんだから。

見た目が難しそうな問題に出くわしたら。
やることはふたつだけです。

 ① ていねいに読む
 ② とにかく手を動かす

当たり前のように見えるけどね。
見た目が難しいとだいたい、
「えー難しそうと思いながら読む」「手が動かない」
になりがちです。

とにかくできるところから手を動かすのみです。

 「y=ax」で
 「xの値が2から4まで」

は、文字「a」が入ってる以外はさっきと同じじゃん
じゃあとりあえずやってみようよ。

c0357199_12193856.jpeg


ここから

c0357199_12361865.jpeg


こうだね。
とりあえず解きましょう。

c0357199_12361853.jpeg


ほい解きました。
ここまでは出来たね。

そしたら問題文の

 変化の割合が-3

を使おうよ。

c0357199_12361807.jpeg


ほい。
そしたら「6a=-3」っていう方程式が出てきたでしょ。
じゃあ解きましょう。

c0357199_12361800.jpeg


これで答えです。
(ちょっとていねいに解いてます)

いい?
見た目が難しそうでも、

 ① ていねいに読む
 ② とにかく手を動かす

ね。
意外となんとかなるから。


ーーーーーー


ていうか変化の割合ってなんなんだってね。
軽く説明します。
(読みたくない人は飛ばしていいです)

「変化の割合」って
「どのくらい変化するの」ってことなの。

ちょっと比べてみます。

c0357199_12510332.jpeg


これと

c0357199_12510314.jpeg


これね。

どちらもx(横方向)に「2」増えています。
「2から4」と「4から6」だね。

どっちも横に「2」増えてんのに、
1枚目の方は「上に6」で、
2枚目の方は「上に10」でしょ。

曲線だから、場所によって
「変化する力」が違うということです。
これが変化の割合の考え方。
「どのくらい変化するの」ということ。

実際に変化の割合出してみようね。

c0357199_12510368.jpeg


これが2から4。

c0357199_12510306.jpeg


これが4から6です。

「2から4」より「4から6」の方が
増える力がありますよっていうのが、
変化の割合を出すと分かるんだね。

小さな子供と背の高い人が、
それぞれ同じ「1歩」を歩いても、
長さがちがうでしょ。
同じ1歩なのに。

同じ条件で
どのくらい変化がちがうのかを出せるのが
変化の割合でした。
(簡単に言うとね!)

c0357199_12510351.jpeg


こういうときはもちろんマイナスになります。


ーーーーーー


余談。

2次関数y=axの、
xの値がx1からx2まで変化するときの、
変化の割合は「a(x2-x1)」で求められる
って教わった人もいるかもしれない。

これ、今教えてきたのより簡単そうだよね。
でもどうして教えなかったか、
よかったら考えてみてください。
本当の楽ってなにのページがヒントです。

変化の割合の式に、
さいしょを「x1」さいごを「x2」として
入れてみたら、気付くかもしれません。


ーーーーーー


ということでこのページはここまで。
「変化の割合」って言葉も難しそうだったけど、
でもなんとかなったでしょ。

演習問題やっつけといてね。
2問だけだけど、よーく考えてクリアしてください。
そんで何回か解けばもう大丈夫です。


演習問題

c0357199_12574783.jpeg

c0357199_12574718.jpeg



 10.4. 2次関数(変域)
 もくじ


答え

c0357199_18472936.jpeg





by dekiyosite | 2015-09-03 09:06 | 数学