14.2. 空間図形(表面積)


 関連ページ(13.1. 円とおうぎ形)
 前のページ(14.1. 空間図形(体積))


コンビニにあるジュース(小さなパック)で説明すると

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体積と表面積はこういうことでした。
(紙パックだと厳密には「のりしろ」があるけど、表に出てる面積だけです)
前回は体積、今回は表面積をやります。


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面積は「平面」の大きさを表すものでした。
だから立体の表面積は、開いて、平面にして考えます。

とりあえず問題。

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これをやってみます。
表面積を求めるには、まず、開く。
開いた絵のことを展開図っていうんだけど、
これがうまく描けない人が意外と多い。

こんなのメモだから、
パパっと描けるようにしちゃいます。

楽な方法教えるね。
まず横(側面)から描いちゃうんです。
上の立体は底面が四角形、だから4辺分あるということです。

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これだけ。
四角形だから4つ描けばいいだけです。
そのあと、底面を上と下つけちゃう。

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これでほぼ完成です。
そしたら、長さの情報を書き込みます。

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長さは、書き込みすぎず、
でも必要な分はすべて書きます。

まず側面積(側面の面積)から。

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これ、4枚あるけど、
結局大きな1枚として考えることもできます。

横の長さが(3+2+3+2)cm、
縦の長さが10cmです。

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次は底面積ね。

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上も下も両方合わせて底面積です。
上も下も同じだから、ひとつ出して、2倍します。

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これを合わせたのが、表面積です。

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こういうふうに、側面積と底面積を出してから足してもいいし、

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こういうふうに一気に解いてもいいです。
一気に解くときは計算ミスしないように気をつけてね。

これが表面積の基本です。
展開図を描くの、めんどくさがらないようにね。


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前回やったけど、体積には2種類あります。
まず「〇〇柱」。

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そして「〇〇錐(すい)」。

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とがってないのと、とがってるのです。

まず「〇〇柱」からやるね。
さっき四角柱やったから、じゃあ三角柱。

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まず展開図だったね。
三角形だから、側面は3つです。

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こうして

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こう。
長さを書き込みます。

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長さをきちんと書き込めるように大きく描いとくんだよ。
5cm、7cm、3cmは厳密に描かなくて(も)いいからね。
あくまでメモです。わかりやすく。
三角形の情報は底辺と高さだけで書きます。必要なのだけ。

じゃあ解くね。

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ほい。
じゃあ円柱!

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展開図を描きます。
「円」で角がないから、側面はひとつです。

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ここで足りない情報があるんだけど、分かるかな。
よく見て、よく考えて。

側面の「横の長さ」がないじゃん。
縦の長さしかないから、側面積(長方形)求められないよ。
どうしよう。

側面積の横の長さは。

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ここと一緒です。円の周りの長さ。円周だね。

ここで、前の前のページでやった、
円の円周と円の面積の求め方を復習します。

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半径をrだとして、円周は「2πr」、円の面積は「π2」です。
これはもう覚えてるかな?
覚えてない人は連呼(れんこ:何度も声に出して読むこと)して覚えるんだよ。

π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2・・・
πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、π・・・

ほい覚え(たとし)ました。
じゃあ、気をつけながら解いていくよ!

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これで「〇〇柱」はおしまい!


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じゃあ「〇〇錐(すい)」にいきます。

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とりあえず展開図だったね。
この場合は底面積から描きます。四角いっこ。

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そしたら周りに4つ三角。

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そしたら長さを書き込むんでした。

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これだけです。
答えるよー!

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こんな感じでした!


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最後に円錐(えんすい)をやります。
みんなきらいな円錐!

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まず展開図を描きます。
底面は円。

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これに対して、側面はおうぎ形です。

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これに長さを書き込みます。

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・・・・・。
何すればいいんだ・・・。

と、ここでなってしまうことが多いです。
(展開図を描いてるだけえらい)

円の面積はたぶん大丈夫そうだよね。
問題は側面積、あのおうぎ形です。

おうぎ形に関しては13.1. 円とおうぎ形で説明してます。
そっち読んできてからがいいと思います。
なぜなら、ここは13.1.よりレベルが高いから。
そこまでの知識があるの前提で話を進めていきます。

そのページで、おうぎ形は「円の一部と考える」と説明しました。
図にそのイメージを描き込むとこんな感じです。

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おお。
少しイメージがくっきりしました。
大きい円の半径が5cm、というふうにとらえられるね。

おうぎ形の求め方は

 ① 「円の一部」と考える
 ② 「円」を出す(面積なら面積、弧の長さなら円周)
 ③ 「割合かける」だけ!

でした。
①までは終わったということ。

じゃあ②だね。
おうぎ形の面積が必要なので、円の面積を求めます。
円の面積は「π2」。

 π2π×5×5

です。
じゃあそれに③「割合をかける」。
んで、また止まる。

割合ってなんだ。
割合は

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こう。
全体分の部分。
全体側が円、部分側がおうぎ形です。
そこからおうぎ形の割合は

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この3パターンがあったのでした。
全部ないじゃん。

全部ないじゃん。(2度目)
でもこの3パターンしかない。
決定的にだめなのはどれかを考え直します。

 角度・・明らかに分かっていない
 円周・・円周は分かるけど弧の長さがわかんない
 面積・・これから面積求めるんだから使えない

角度と面積から攻めても絶対ダメそう。
だから狙うは「円周」です。

円周は分かるね。

 2πr=2×π×5
 
でも弧の長さはな。
よーく見て。弧の長さ。
さっき、似たような考え方を使ってるんだから。

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よーく見た?
わかった?

きっとわかるから、よく考えてみて。
もう、答え言うからね。

この考え方です。

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この長さと同じじゃんね。
大きな円側の弧の長さは、小さな円の円周と長さが一緒なんです。

 2πr=2×π×3

これで、側面積は求められます。

 ① 「円の一部」と考える
  → 考えた

 ② 「円」を出す(面積なら面積)
  → π2π×5×5

 ③ 「割合かける」
  → 円周と弧の長さで割合を作る。
    弧の長さは小さな円の円周

つまり式は

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こうなります。
だから、側面積は

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こうです。
長かったけど、式自体はシンプルです。
意味が分かってる人にはね。

じゃあ底面積も合わせて、表面積求めるよ。

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これで答えです。


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ちなみに。

円錐の側面積の求め方はね。

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こういう一発で解く方法があります。
覚える?覚えても別にいいです。

でも、いらないよこんなの。
今解けたじゃん。ちゃんと理解したやり方でね。
円錐の問題を同じ解き方で、
あと3回以上解けばもっと理解できます。

同じ、一貫した考え方をずっと続けてれば、
理解は深くなるばかりです。
どんどん間違えなくなります。

だけど
「円錐のやり方はこれで一発!」
「この解き方はこれで解ける!」
「この問題はこれで一撃!」
これを全部覚えたら、
理解はどんどん浅くなります。
入試前に忘れるし、応用がきかなくなります。
こういう「テクニック」っていうのは、危ないんだ。
それをよく覚えててほしいなと思います。

だってその暗記を少しでも忘れたらアウトでしょ。
理解してれば、順序良く解きながら思い出せます。

さらにちなみに。
なんでその公式になるのかというとね。
半径をa、bにして、さっきと同じ解き方をしてみます。

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こうなるから。
こんなの覚えなくていいでしょ。


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ということで表面積の回はここでおしまいです。
一応、数学のページ全体としてもここでおしまいにします。
全部やった人がいたら、すごい。
きっと前より、出来るようになってると思います。
好きになってたらそりゃあいいけど、
好きまではいかなくても、
「嫌い」とか「苦手」とかじゃなくなってるといいなと思います。

最後の演習問題は前のページの体積も合わせて、
このページの復習です。


演習問題

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答え

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by dekiyosite | 2015-10-07 14:06 | 数学