13.1. 円とおうぎ形(おうぎ形は円の一部と考える)


 関連ページ(★割合について)


みんないやがるおうぎ形。
ここで出来るようにしちゃおうね。

上に載せた「割合について」というページは前半だけでもいいから読んでから来てね。


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さて。
おうぎ形というのは

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こういう形のこと。
扇(おうぎ。扇子(せんす)のこと)みたいな形してるよね。
別にチーズケーキ形でもいいんです。
似てるね。

おうぎ形の面積

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弧(こ)の長さ

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中心角

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の求め方を今からやります。
が、その前に「円」の知識が必要です。


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円の「面積」と「円周」について復習します。

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小学校で覚えたこの公式をまだ日本語で覚えてる人も多いはず。
だけど半径を「r」、円周率(3.14・・)を「π」とします。

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とにかく面積を「π2」円周を「2πr」と連呼しまくって覚えてください。
連呼(れんこ)とは声に出して読みまくること!覚えるには連呼!

π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2・・・
πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、πr、π・・・

はい覚えました。覚えないと始まらないからね!

ちなみに円周がなんで「2rπ」ではないのかというと「π」も数字だからです。
π」も3.14・・という数字だから、「数字・文字」の順番でいうと「2πr」なのでした。

ちょっと軽く問題やってみましょう。

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これを解きます。
公式を「覚える」かつ「忘れない」ために、
「2πr」「π2」は毎回書きます。

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という感じです。
単位は()を付けて式に書き込みます。

(「2×π×3=6cm」と書くのはダメです。
 単位がなかったのに突然単位が付くと
 「=」ではなくなるからです)

面積の方は「π×3(cm)×3(cm)」ということなので、
cmを2回かけてるよね。だから単位は「cm2」です。

円はこんな感じ。
こんな感じでもうおうぎ形にいっちゃうよ。


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おうぎ形をだいたいみんないやがります。
それはなぜかというと「公式がめんどくさそうだから」。
これにつきます。
見てみる?

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こんな感じです。
弧の長さと面積はなんとなく似てるけど、
中心角の公式は参考書などでバラバラです。

これを全部覚えて、解いてくださいね。と言われるわけです。
テスト前ならまだしも、入試前まで覚えてられるかな。

なんかめんどくさそうだからみんないやになります。
だから「ちゃんと」理解してみよう。
理解すれば、忘れても思い出せます。


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★割合について」のページでやったことを軽く復習します。

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割合は「全体分の部分」で出すことができたんだよね(とっても大事!)。
これはとっても大事なので、今覚えてください。

ピザ1枚を、8等分して、3切れ食べたら、何枚食べたことになるかな。
というのを割合(全体分の部分)を使って書くことができます。

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8切れ(全体)あるうちの3切れ(部分)食べたから、3/8枚食べたと言えるわけです。

さらに「割合はかけ算」を使うんだったよね。
元の値×割合」です。

上のピザが全体で1000カロリーだとして、さっきの3切れ分のカロリーは

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「1000kcal(元=ピザ全体のカロリー)×割合」という計算で出せました。


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それではおうぎ形。
おうぎ形は「円の一部と考える」のが基本です。

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上のピザの図とかなり似てるよね。

「円の一部と考える」ということは
円(全体)を出して、割合をかければいい、ということです。

おうぎ形の面積(部分)の全体は、円の面積。
おうぎ形の弧の長さ(部分)の全体は、円周です。
つまり、

 おうぎ形の面積を出したかったら
 円の面積を出して、割合をかければいい。

 おうぎ形の弧の長さを出したかったら、
 円の円周を出して、割合をかければいい。

ということです。
とりあえずやってみようか。

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この問題です。
「円の一部」ということを意識するために
こうやって描き込んじゃいます。

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ここで使える「割合(全体分の部分)」はどこを使うかというと、
360°と45°を使います。
360°が円(全体)、45°がおうぎ形(部分)だね。
面積から解いてみます。

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こうだね。
次に弧の長さを解きますが、
割合は同じなのでもう約分した状態で書いていいです。

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ということです。
まとめて書くと

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こんな感じです。
これがおうぎ形の面積と弧の長さの求め方。


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おうぎ形に対しての「割合」について
もう少し考えてみます。

割合って「全体分の部分」だったよね。
ということは、角度だけじゃなくても、

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こういうふうに、
円周で全体分の部分をしたり、
面積で全体分の部分をしてもいいということです。
このどれを使ってもいい。

ちなみにさっきの問題で面積と弧の長さを出したよね。
全部「割合」にしてみようか。

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当然、全部「1/8」になりました。
やっぱり、どれを使ってもいいんだよね。


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さっき適当に流した「中心角」についてもやります。

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こういう問題です。

まず問題なのは、中心角の「全体」ってなんだ?ってこと。
おうぎ形の面積の全体は「円の面積」だったし、
おうぎ形の弧の長さのときは「円周」だったね。

中心角の「全体」は「円の中心角」ということです。
そりゃあ「360°」でしょう。
それに割合をかける、ということ。

今わかってる「部分」は「3πcm(弧の長さ)」だけだよね。
だからさっきの3つのうち、使える割合は「円周」分の「弧の長さ」だけです。

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ということでした。
(円の点線描くの忘れたけど書こうね!)

ちなみに270°って本当は

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こんな形だよね。
だけどいいです無視して。

こういうふうに

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図の描いてない問題もあります。
こういうときは自分で図を描くんだけど、225°だって、

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こう描いていいからね。
「メモ」なんだから「いつも通り分かりやすく」描くのが優先です。
(解かないよ!)


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以上でおうぎ形おしまい!

 「円の一部」と考えて、
 「円」出して、
 「割合かける」だけ!

だと分かったかな?
それが分かればこっちのもんです。
もうきっと忘れません。

演習問題はさっきのと、もう1個だけやっておこうか。
きっとだいじょうぶです。
解けるまで頑張れ。


演習問題

by dekiyosite | 2015-10-03 20:23 | 数学