12.1. 作図(結局4つ)



このページから図形に入ります。
作図ね、ちょちょいとしかやらないくせに、
入試で出たりするからね、みんなだいたい嫌がります。

でも中学の範囲なんてたった4つだから。
区別できるようにしていけば大丈夫です。


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最初に、4つを一覧にしてみます。
フリーハンドでいきます。

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この4つ。
垂直二等分線と角の二等分線と垂線(2種)です。
これらをひとつずつ説明していきます。


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ちなみにコンパス下手なひとが結構います。
コンパス苦手なひとは上からみたときに

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こんな感じになってることが多いです。
立て過ぎなんだね。
コンパスをもっと寝かして、

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こういうふうにすると結構安定して、
きれいに描けるからね。


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まずは「垂直二等分線」。

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垂直二等分線は、
垂直に、二等分する線のことだね。
実際にやってみます。

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こういうふうに2点あります。
とりあえずA、Bと名前を付けておきました。

この2点を結んで線分(せんぶん)にします。

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(「直線」は永遠に続く線のこと。
 どこからどこまでという線のことを「線分」といいます)

この線分ABに対して、
垂直で、二等分にする線(垂直二等分線)を作図します。

コンパスを適当にAからぐるりと引きます。

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半円でいいです。
そしたら「コンパスの幅を動かさずに」Bからも引きます。

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こういうふうに重ならないとだめです。

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こうなったらだめ。
1次関数でもやったけど、直線は2点ないと書けません。
だから交点を2つ作るように、コンパスの幅を設定してね。

で、その2交点を定規で結びます。

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ほい。
これが垂直二等分線です。
「┐」の記号は垂直の印。

でね、だいたいみんなここでおわります。
結局、垂直二等分線がなんなのか分かってない。
だから応用がきかなくなっちゃうんだな。

垂直二等分線を「理解」しよう。
垂直二等分線は、ABからのキョリが

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ここも

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ここだって

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もちろんここ(中点)も、
全部同じです。
(「=」の記号は「線分の長さが等しい」という記号です)

垂直二等分線は2点A、Bからのキョリが、
等しいところが集まって出来た線なんだね。

だから垂直二等分線は「2点からのキョリが等しい」ときに
使う作図だと思っていてください。

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たとえばこういう問題

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直線l上にあるってところは、
とりあえず無視していいです。
「2点A、Bから等しい距離にある」ってことは
「垂直二等分線」じゃん、ということです。

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はい引きました。
そしたら「直線l上」にあるのが「点P」だから、

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ここが答えだということだね。
ちなみに今回の場合は

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線分ABは引かなくてもいいね。
でも、別に引いたっていいです。
だからいつも引いとくのがいいかな。
(必要なときもあるからね)

とにかく垂直二等分線は

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こう。
2点からのキョリが等しい」と覚えといてください。


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じゃあ次、「角の二等分線」ね。

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角の二等分線は

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もともとこういう∠AOBがあって、
この角を二等分しろと言われてるわけです。
まずは

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こういうふうに点Oからコンパスで半円を描きます。
そしたら、その半円とOAの交点からコンパスで

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こう!
そしたら「コンパスの幅を変えずに」今度はOBの方から

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こう!

そしたら直線は「2点あれば」引けるから、
「今の交点」と「点O」を繋ぎます。

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これで「角の二等分線」完成です。
「●」は角の二等分線マークです。

角の二等分線も「理解」しようね。
角の二等分線は

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ここも

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ここも、
辺OA、辺OBとの距離が同じです。

つまり角の二等分線は
2辺からのキョリが等しい」ときに使う作図です。

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問題やってみましょう。

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こういう問題。
辺AB上というのはいったん無視。
とにかく「辺ACと辺BCから等しいキョリ」ということは
2辺からのキョリが等しい」ということです。

じゃあ辺ACと辺BCで角の二等分線引いちゃいます。

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そしたら「辺AB上」で「点P」で答え。

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これで答えです。
角の二等分線は

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とにかくこういうことね。
2辺からのキョリが等しい」わけです。


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垂線(すいせん)。
垂線には2タイプあります。

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垂直二等分線は「2点からのキョリが等しい」線、
角の二等分線は「2辺からのキョリが等しい」線、
という意味がありました。

が、垂線は特に意味はありません。
「ただ垂直な線」を引くやり方です。

まずひとつめ。

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線上に点Aがあります。
この点Aを通る、垂直な線を引きます。

まずこう。

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点Aを通る円を描きます。
線に交点が2つできればいいです。

この交点から、
さっきの角の二等分線の要領で、

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こう。
そして(コンパスの幅を変えずに)

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こう。
そしたら、直線を引くのに必要な2点
(交点と点A)が出来たので、線を引きます。

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これが垂線ひとつめ。
続いて、

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こう。
今度は線と離れて点Aがあります。
ここを通る垂直な線を引きます。

まず点Aからコンパスで

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こう。
これで線に2つ交点ができるね。
そしたらさっきの要領で、

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こうして

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こう。
そしたら「この交点」と「点A」を

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こう!
これが垂線ふたつめです。

例題ね。

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「円の接線(せっせん)」とは

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こういうふうに円周上に1点で接する線のことです。
この接線は必ず「円の中心から引いた線と垂直」になります。
ちょいむずかしい?

まあとにかく。
さっきの問題は

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こうして

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こうして

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こう、こうして

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こうしちゃえば、接線完成です。
以上、垂線の解説でした。


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改めて4つ載せます。

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フリーハンドでいいから、
この一覧をパッと描けるようにしとくといいです。
これが道具だからね。
道具が手元にないと解けないから。

演習問題は、ここでやった問題に加えて、3つ。
この4つの道具だけで絶対にできるから、よーく考えて解いてね。
「2点から等しい」「2辺から等しい」がヒントです。


演習問題

(0)作図の4パターンをフリーハンドで(ポイントも含め)書きなさい。
   以下の3つの画像の問題を解きなさい
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by dekiyosite | 2015-09-18 05:00 | 数学