9.4. 1次関数(動点)


 前のページ(9.3. 1次関数(面積))


1次関数は面積問題で終わらせるつもりだったんだけど、
2次関数の動点の問題を作るときに、
やっぱりこっちも作ろうかなと思って、
急きょ付けたします。おまけ!

動点(どうてん)はだいたいみんな苦手だけどね。
なんで苦手かっていうと「動く」からです。
動くのが嫌なら、「止めればいい」の。


ーーーーーー


1問しかやらないからね。
こういう問題です。

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うわー!ってならないでね。
何度も言ってるけど、苦手な人ほど
問題の見た目だけでやられるんです。

「難しそう=難しい」ではないから。
ゆっくり読んでいきます。

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上の図の長方形ABCD上の点Pは
Aから秒速1cmの速さで
辺上をB、Cを通ってDまで動く。

c0357199_15372776.jpeg


点PがAを出発してからx秒後の

c0357199_15373655.jpeg


△APDの面積をycm2とする。

c0357199_15374513.jpeg


ということです。
こういうふうに図に「読みながら」書き込んでいきます。

(たとえば秒速2cmなら、
 1秒で2cmだからx秒で2x秒になるだけです)

さて。じゃあ

c0357199_15404448.jpeg


こういうふうに描き込んで、この問題です。
とりあえず①から。


ーーーーーー


① 点PがAB上

さっき、動点が難しいのは動くからだって言ったよね。
動くのがいやなら「止めればいい」とも。

点PがAB上のどこかにいるときを
写真を撮るつもりで、動きを止めてください。
その止めたところを、フリーハンドでいいから図を描くよ。

c0357199_15452575.jpeg


こんな感じだね。
今のところはさっきとほぼ同じだけど、
でも必ず描きます

さあ。
じゃあyをxの式で表そう。
yは△APDの面積のことだから、
要は三角形の面積だせよってことです。

三角形の面積については前のページでもやったよね。
c0357199_15462208.jpeg


さっきの図を見ると、
底辺6cmの、高さxcmです。
(底辺xcm、高さ6cmだと思ってもいいです)

だから

c0357199_15482377.jpeg


こう。
これで式が出ました。
あと「xの変域」を出せって言われてるけど、
どうすればいいか分かるかな。
xって「秒」だったよね。

点PがAB上を動くとき。
Aから出発するんだから、
A地点はもちろん0秒です。

c0357199_15520401.jpeg


それがBまで行きますよと。
ABの長さは「5cm」で
「秒速1cm」です。
1cm1秒なんだから、
5cmなら5秒。

c0357199_15521782.jpeg


これをさっきの自分の図にも書いときます。

c0357199_15530530.jpeg


つまりAB上は0秒から5秒の間、ということ。
だから答えは

c0357199_15533838.jpeg


こうです。
これで①はおしまい。
②と③も同じようにやればいいだけです。


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② 点PがBC上

まず図を描こうね。
写真を撮るんでした。

c0357199_16004094.jpeg


はいパシャ。こんな感じです。

あれ。
「xcm」って書かなくていいのって思ったかな。
ここが「xcm」だと思ってない?

c0357199_15582746.jpeg


これは違います。
本当はここ。

c0357199_15582702.jpeg


このL字型の部分がxcmです。
点PはAからスタートしてるからね。

だから「xcm」と書いても使えなそうなので
書きませんでした。

さて。
△APDはもう求められるかな。
底辺は6cmだけど、高さはどこだろう。

高さは底辺に対して垂直でした。
じゃあここだね。

c0357199_16032948.jpeg


辺CDと平行だから、高さは「5cm」です。

c0357199_16034235.jpeg


ここだろうが

c0357199_16034346.jpeg


ここだろうが5cm。
だから、写真は1枚でいいんです。

じゃあ解こうね。

c0357199_16053294.jpeg


じゃあxの変域はどうだろう。
BCの長さは6cmだから、かかる秒数は「6秒」だね。

Bにあるときは「5秒」だったんだから、
5+6をすれば、Cのところは「11秒」と分かります。

c0357199_16055341.jpeg


だから答えは

c0357199_16063998.jpeg


こうです。


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③ 点PがCD上

写真撮ります。

c0357199_16090238.jpeg


こうだね。

ここで問題になるのは「PDの長さ」です。
xcmは今度は

c0357199_16101521.jpeg


ここだもん。
どうしたらいいかな。
ちょっと考えてみてください。
この問題ではここが一番頭の使いどころだよ!

PDの長さは変化するよね。
さっきみたいに5cmで「一定なわけではない」ということ。
変化するということは「xを使う」んじゃないかな。
xを使えば、長さは変わっていくもんね。

なるほど、xを使ってPDを表すのか・・・。
考えてるかな?
分かんないなりに頑張って考えてみることが大切だよ。

正解を言います。

PD=(AB+BC+CD)-x
です。

c0357199_16110895.jpeg


図で表すとこういうこと。
こうすればPDの長さが出るよね。
実感として分かるかな?

 PD=(AB+BC+CD)-x
   =( 5 + 6 + 5 )-x
   =16-x

です。
図に書き込もうね。

c0357199_16121078.jpeg


こういうふうに長いときは()で囲みます。
(16-xcmと書くと、
 「16」と「-xcm」と読めちゃうからです)

じゃあ解こうね。

c0357199_16141021.jpeg


解きました。
1次関数的に書くと「y=-3x+48」だね。

変域はまたさっきのと同じようにやります。

CDの長さは5cm。
つまりかかる秒数は「5秒」だね。

Cのとき「11秒」なんだから11+5で、
Dにあるときは「16秒」です。

c0357199_16145810.jpeg


答え。

c0357199_16151136.jpeg


まとめて載せると

c0357199_16154577.jpeg


こういうことです。
これで(1)yをxの式で表しなさいができたね。


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(2)x、yの関係をグラフに表しなさい。

さっきの答えをまとめて書きます。

c0357199_16165208.jpeg


変域がちゃんと繋がってるのが分かるかな。
リレーみたいに、5と5、11と11で繋がってます。

このグラフの描き方は意外と簡単です。
方眼紙使わないよ。

c0357199_16184846.jpeg


まずこういう軸を書きます。
x(秒)もy(cm2)もマイナスがないから
こんな感じでいいです。
また、単位があるから単位も書いといてね。

まずやるのは、②のグラフです。
y=15(5≦x≦11)は定数(文字が入ってない)から、
描くのが楽です。

こう。

c0357199_16184812.jpeg


(5,15)(11,15)のところに
点を打って繋いじゃうということ。

あとはもう簡単です。
さっきの変域から、
x軸の「0」と「16」のところに結べばいいだけ。

c0357199_16203621.jpeg


これでもう答えです。
このタイプの答えはプリン型(ひっくり返しバージョン)になります。


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実はまだ問題がまだあります。

c0357199_16210865.jpeg


これは簡単。
「y=9」の直線をさっきのグラフに描けばいいだけです。
(y=9のグラフの描き方も前のページでやってました)
説明するから方眼紙で描くね。

c0357199_16232027.jpeg


こういうことです。
だから答えは「3秒後と13秒後」。

計算で解く方法もあります。
y=9の直線が①のグラフと③のグラフに交わってるよね。
だから①と③の式にy=9を代入すればいいんです。
このやり方なら、方眼紙じゃなくても、
答えが分数でも解けます。

以上、動点問題でした。
動点のポイントは「写真」でした。
あと「ていねい」。


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動点の問題、説明込みだと長い感じがすると思うけど、
やり方を身につけて改めて解けば結構ポンポン解けます。

理解してるかどうかの判断基準は
「ペンが止まらないか」だって前に話したよね。
止まらないでズンズン解けるくらいになってください。

このページの演習問題は上の問題と同じです。
がんばってね。


演習問題

c0357199_16210865.jpeg



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 もくじ


答え

c0357199_16253187.jpeg


c0357199_16232027.jpeg





by dekiyosite | 2015-08-19 12:56 | 数学