10.6. 2次関数(動点)


 前のページ(10.5. 2次関数(面積))


いよいよ2次関数も最終ページです。
つまり中学の関数がおしまい。
よくがんばったね。

このページの動点(どうてん)の問題は、
応用問題という扱いをよくされます。
実際、すごく簡単なわけではありません。
だから入試やなんかでよーく出題されるんだよね。

だけど順序立ててやればきっとできる。
このサイトは基礎が多めだけど、
基本的なとらえ方から、やってみます。
このくらいできるようにするよ。


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2次関数のこのページを書き始めてから、
1次関数の動点問題も急きょ作ることにしました。

動点の問題は2次関数だとかそういうのはあまり関係なくて、
「動点の考え方」ができるかの方が重要です。
2次関数ができる人はいきなりこのページからやるのも、
まずはそこからやってみるのもいいと思います。

 9.4. 1次関数(動点)


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さあ問題です。

c0357199_12262117.jpeg


はい。
かなりやばそうな問題だね。
みんなが嫌そうな要素をだいたい入れました。

文章題で大切なのは、
問題の見た目でやられないこと
落ち着いて、落ち着いて読みながら、
図にメモをたしたり、読み取っていきます。

AB=6cm、BC=8cmの長方形ABCDがある。

c0357199_12262118.jpeg


点Pは辺AB上を秒速1cmでBからAまで進み、
Aに着くと止まる。

c0357199_12262170.jpeg


点Qは辺BC、CD上を秒速2cmの速さで
BからCを通ってDまで進む。

c0357199_12262234.jpeg


点P、点QがBを出発してからx秒後の
PQの面積をycm2として

c0357199_12283478.jpeg


次の問いに答えなさい。
とのことでした。

ここからyをxの式で表せよ、ということです。


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点Pと点Qの秒速も違うし、
点P止まったりする。
どうすればいいんだろう。

迷っていいです。
そのまま突っ込んで混乱するよりずっといいです。

動点の問題が嫌な理由は「動く」からだよね。
動くのが嫌なら「止めればいい」じゃん。
という話は1次関数のときにもしました。

でも、いつ止めればいいかという判断が、
今回はちょっと難しいです。
難しいポイントは2つあります。

 1.点Qが辺BCから辺CDに移るとき
 2.点PがAに着いて止まるとき

このときにどうやら式が変わりそうです。

でも点Pが止まるときが、
点QがBC上かCD上かがわからない。

だから今回は先に、xの変域(秒)を調べてみます。
2点同時はむずかしいから、まず点Pから。

点PはBから動くから、
Bにいるときはそりゃあ「0秒」です。

c0357199_12340156.jpeg


そこからPはAに進むんだよね。
辺ABの長さは6cm。
点Pは秒速1cm(1秒に1cm)だから、
Aに着くときは6cm分の「6秒」です。

c0357199_12340195.jpeg


これで点Pの動きが分かりました。
0秒から6秒で辺AB上を動いて、
このあと点Pは止まるってことだね。

じゃあ続いて点Q。
点QもBスタートです。

c0357199_12340171.jpeg


そこからまずCまで進みます。
辺BCの長さは8cm。
点Qは秒速2cm(1秒に2cm)。
秒数の2倍分進んでます。
だからCまで8cm進むには「4秒」だね。
(4秒×2=8)

c0357199_12340105.jpeg


点QはそのCからDまで進みます。
辺CDの長さは6cm。
点Qは秒速2cmだから、
Dまで6cm進むには「3秒」。
(3秒×2=6)

すでにCまでに4秒経ってるので、
Dまでは4+3で「7秒」だね。

c0357199_12340140.jpeg


これで点Pと点Qの進み方が出ました。

 点P・・AB上(0秒から6秒)

 点Q・・BC上(0秒から4秒)
     CD上(4秒から7秒)

ということです。

点Qは7秒まであるのに点Pは6秒までだよね。
その6秒から7秒の間に点Pは止まってる、
ということじゃないかな。

つまりこの問題の区切りは

4秒(点Qの辺が変わる)」と
6秒(点Pが止まる)」の2箇所です。

 0秒から4秒まで
 4秒から6秒まで
 6秒から7秒まで

をやれば、この問題は解けそう。
秒はxだったから、こういうのを

 0≦x≦4
 4≦x≦6
 6≦x≦7

というふうに書くのでした。


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① 点QがBC上

じゃあ実際に解きはじめよう。
BC上ということは「0≦x≦4」です。

動点の問題は動くから難しい。
だから「止めればいい」んだよね。
止めるというのは、写真を撮るようなイメージです。
そのシーンの図を描いてみるということ。

c0357199_12375665.jpeg


点Pは秒速1cmだからBP間は「xcm」、
点Qは秒速2cmだからBQ間は「2xcm」でした。
図はフリーハンドでいいからね。

さあ。三角形の公式はこうでした。

c0357199_12382120.jpeg


底辺も高さも求まってるから、
△BPQの面積はもう求められそうです。

c0357199_12392900.jpeg


求まったね。
2次関数でした。

c0357199_12393019.jpeg


こんな感じ。


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② 点QがBC上

点QはBC上を「4秒から7秒」で動くんだけど、
「4秒から6秒まで」「6秒から7秒まで」で分けるよ、
というのはさっきやったよね。
だから

② 点QがBC上
  (4≦x≦6のとき)

という感じです。
じゃあ動きを止めるよ。

c0357199_12464327.jpeg


こういう三角形になるからね。
こんなミスをしないように。

c0357199_12474370.jpeg


BPQがy、だからね。

あれ?
「2x」って書かなくていいの?って思うかな。
2xは

c0357199_12485085.jpeg


ここです。このL字型のところが「2xcm」。
点QはBからスタートしてるからね。
今回は使わなそうなので書きませんでした。

△の高さは底辺と垂直だったよね。
だから図みたいに、底辺BPに垂直なところ、
「8cm」が高さになります。

c0357199_12500925.jpeg


もう答え。


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じゃあ場合分けラストだね。

② 点QがBC上
  (6≦x≦7のとき)

写真撮ります。

c0357199_12512127.jpeg


このときは点PはAに止まってるので
BPの長さはABの長さと同じ、6cmです。

高さはさっきと同じ8cmだね。
(長さを求めるところは1次関数の方が難しめでした)

じゃあ答えです。

c0357199_12513050.jpeg


まとめると

c0357199_12521267.jpeg


こんな感じでした。


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(2)x、yの関係をグラフに表しなさい。

じゃあ最後の問題です。

c0357199_12551865.jpeg


こういうグラフに書いていきます。
まずはさっきの式を一覧にします。

c0357199_12560186.jpeg


まず「0≦x≦4」です。
この区間は「y=x2」で2次関数だね。
2次関数の描き方

c0357199_12561089.jpeg


こうだね。
4秒までだけです。

そしたら「4≦x≦6」で「y=4x」。
こういうのは、終点のx=6を求めちゃうんです。

 y=4×6
  =24

だね。
その点を打って、

c0357199_12561035.jpeg


繋いじゃいます。

c0357199_12564011.jpeg


これだけ。
「y=4x」は1次関数なので「直線」だね。

じゃあ最後。
「6≦x≦7」で「y=24」。
6秒から7秒の間はずっとy=24ということです。
(7,24)に点を打って結べばいいよね。

c0357199_12565415.jpeg


これで答えです。
おしまい。


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このあと比例と反比例も軽くやるけど、
これで一応中学の関数はおしまいです。

中学の数学はだいたい、
1学期「計算」2学期「関数」
3学期「それ以外」という配分です。

それだけ関数のしめる割合は大きいからね。
得意にしとくとなにかとお得です。
困ったらいつでも戻ってきてください。

演習問題は上の問題と同じ問題。
がんばれ!


演習問題

c0357199_12262117.jpeg



 11.1. 比例を飛ばした理由
 もくじ


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by dekiyosite | 2015-09-03 09:15 | 数学