10.1. 2次関数(グラフの描き方)


 9.1. 1次関数(グラフの描き方、読み取り方)


今日から2次関数に入ります。
2次関数は1次関数より難しい、と思われがちです。
だけど基本は1次関数より簡単です。
(中学生の範囲では!)

ただ「関数」という意味で、
1次関数を解いたときの知識は必要です。
テスト前ですぐ2次関数を身につけないといけないかな。
だけど急がば回れ、先に1次関数をマスターしてから、
ここに戻ってきてください。
必ず役にたつから。
とりあえず9.1.だけでいいからね。


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1次関数ってなんだったっけ。
1次関数とは「直線の式」のことでした。
そしてその式は

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こうだったね。

それじゃあ2次関数ってなんだ。
2次関数の式は

c0357199_13145362.jpeg


こうです。

1次関数より簡単って言ったくせに、
なんだよやっぱ難しそうじゃんと思うかな。

1次関数の「y=ax+b」で大切な文字は
「a」と「b」でした。

だけど2次関数は「a」だけです。
(中学の間はね)
ひとつだけだから意外と楽。
見た目でやられちゃだめだからね。


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1次関数のグラフは「直線」。
2次関数のグラフは「放物線(ほうぶつせん)」になります。

c0357199_13145354.jpeg


こんなグラフです。
下の方のグラフが、
ボールを投げたときみたいな曲線になってるでしょ?
物を放ったときの線で「放物線」です。

このページではこのグラフの描き方を身につけていきます。


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まずは基本の「y=x」から。

(今まで2乗の打ち方ができなかったんだけど、できました。
 パソコン上では2乗のことを「x^2」と書いたりもします)

まず「y=x」のxに「x=0」を入れてみます。
そしたら「y=02」だから「y=0」だよね。
x=0のときy=0だから(0,0)の点です。

c0357199_13230512.jpeg


(x軸の上をわざと長めに書いています!)

今度は「y=x」に「x=1」を代入してみようか。
そしたら「y=12」で「y=1」です。
x=1のときy=1だから(1,1)の点。

※○乗がよく分からない人は
 4.2. 式の計算(○乗)で出来るよ。

c0357199_13230567.jpeg


上の画像で(1,1)だけじゃなくて
(-1,1)にも点が打ってあるの分かるかな。

2次関数は左右対称なんです。
y軸で折り紙みたく折ったらぴったり重なります。
(こういうのをy軸対称と言います)

だから(1,1)に打ったら、
その左右対称のとこにも打っといてください。

次。
次は「y=x」に「x=2」を代入。
代入したら「y=22」で「y=4」。
x=2のときy=4で(2,4)だね。

c0357199_13230575.jpeg


もちろんy軸対称のとこにも打ちました。

次は「y=x」に「x=3」を代入だね。
代入したら「y=32」で「y=9」。
x=3のときy=9で(3,9)です。

c0357199_13230585.jpeg


もうだいぶ点を打ちました。
そしたらそれらをつなぎます。

c0357199_13230629.jpeg


これでおしまい。
この点を上手につなぐのが最初できなくて、
それだけで2次関数嫌いになる人もいるんだけど、
もったいないからね!

1次関数は直線だから
「2点」分かればグラフが描けました。

だけど2次関数は、
こういうふうにちょっと手間がかかります。
グラフを描くのはね。


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いくつか練習してみよう。

「y=2x」。

「x=0」代入でy=2×02だから「y=0」。
(0,0)だね。
中学の2次関数は常に原点を通ります。

c0357199_13254019.jpeg


「x=1」代入でy=2×12だから「y=2」。
(1,2)です。

c0357199_13254044.jpeg


y軸対称で左側にも打ちました。

「x=2」代入でy=2×22だから「y=8」。
(2,8)です。

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「x=3」代入でy=2×32だから「y=18」。
(3,18)だね。

だけどこのグラフでは入らないので打たなくていいです。
今まで打ったところをつなぎます。結びます。

c0357199_13254070.jpeg


こんな感じね。
さっきより縦長です。

じゃあ今度は

c0357199_13145331.jpeg


をやってみます。
手書きでやるね。

c0357199_13145355.jpeg


原点は通るってもう分かってるから、
(0,0)(2,2)(4,8)です。

(1,1/2)(3,9/2)は、
今のところ打たないでいいです。

こういうふうに、分数のときは、
分数が消えるような数字を代入します。

だから実際、メモは

c0357199_13145315.jpeg


これだけでいいってことね。
じゃあ(0,0)(2,2)(4,8)を打ちます。
(本当は、さっきみたいにひとつずつ打ってね)

c0357199_13294351.jpeg


これをつないで

c0357199_13294330.jpeg


ということです。


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「y=ax」のaがマイナスの場合も同じです。

「y=-x」でやってみようね。
原点(0,0)は必ず通ります。

c0357199_13410921.jpeg


今度はx軸の下を長くしてます。

さて。
「y=-x」に「x=1」を代入します。
そしたらy=-1で「y=-1」だね。
(1,-1)です。

c0357199_13410999.jpeg


もちろん左右対称です。

次は「y=-x」に「x=2」を代入します。
そしたらy=-2で「y=-4」。
(2,-4)です。

c0357199_13410932.jpeg


次は「y=-x」に「x=3」。
そしたらy=-3で「y=-9」だね。
(3,-9)です。

c0357199_13411069.jpeg


じゃあつなぎます。結びます。

c0357199_13411075.jpeg


こんな感じ。
マイナスでもやり方は同じです。

じゃあ「y=-3x」。

「x=1」代入でy=-3×12だから「y=-3」。
「x=2」代入でy=-3×22だから「y=-12」。
「x=3」代入でy=-3×32だから「y=-27」。

(0,0)(1,-3)(2,-12)(3,-27)です。
値が大きいね。

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打てるものは打ちます。
(本当はひとつずつ打っていってね。)

さあつなぎましょう。

c0357199_13411017.jpeg


長いね。

じゃあ最後!

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分母が「3」です。
それが消えるような値を代入していきます。

c0357199_13521622.jpeg


(0,0)(3,-3)(6,-12)(9,-27)だね。

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点を打って、

c0357199_13521784.jpeg


こんな感じでした!


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1次関数より実は簡単と言いつつ、
2次関数のグラフは点をいくつも求めなくちゃいけないので、
ちょっと大変でした。
次のページはちょっと楽だからね。

ここの演習問題は1問だけにしておきます。
方眼紙がない人バージョンの答えも載せておきます。
方眼紙がなくてもなんとか頑張ってみてください。


演習問題

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 次のページ(10.2. 2次関数(式の決定、グラフの読み取り))
 もくじ


答え

計算メモ

c0357199_13541417.jpeg


分母は「4」だけど、
「4」の倍数以外の「2」や「6」でも分数が消えたね。

方眼紙バージョン

c0357199_13543477.jpeg


方眼紙じゃないバージョン

c0357199_13544206.jpeg





by dekiyosite | 2015-09-03 09:00 | 数学