今日から2次関数に入ります。
2次関数は1次関数より難しい、と思われがちです。
だけど基本は1次関数より簡単です。
(中学生の範囲では!)
ただ「関数」という意味で、
1次関数を解いたときの知識は必要です。
テスト前ですぐ2次関数を身につけないといけないかな。
だけど急がば回れ、先に1次関数をマスターしてから、
ここに戻ってきてください。
必ず役にたつから。
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1次関数ってなんだったっけ。
1次関数とは「直線の式」のことでした。
そしてその式は
こうだったね。
それじゃあ2次関数ってなんだ。
2次関数の式は
こうです。
1次関数より簡単って言ったくせに、
なんだよやっぱ難しそうじゃんと思うかな。
1次関数の「y=ax+b」で大切な文字は
「a」と「b」でした。
だけど2次関数は「a」だけです。
(中学の間はね)
ひとつだけだから意外と楽。
見た目でやられちゃだめだからね。
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1次関数のグラフは「直線」。
2次関数のグラフは「放物線(ほうぶつせん)」になります。
こんなグラフです。
下の方のグラフが、
ボールを投げたときみたいな曲線になってるでしょ?
物を放ったときの線で「放物線」です。
このページではこのグラフの描き方を身につけていきます。
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まずは基本の「y=x2」から。
(今まで2乗の打ち方ができなかったんだけど、できました。
パソコン上では2乗のことを「x^2」と書いたりもします)
まず「y=x2」のxに「x=0」を入れてみます。
そしたら「y=02」だから「y=0」だよね。
x=0のときy=0だから(0,0)の点です。
(x軸の上をわざと長めに書いています!)
今度は「y=x2」に「x=1」を代入してみようか。
そしたら「y=12」で「y=1」です。
x=1のときy=1だから(1,1)の点。
※○乗がよく分からない人は
上の画像で(1,1)だけじゃなくて
(-1,1)にも点が打ってあるの分かるかな。
2次関数は左右対称なんです。
y軸で折り紙みたく折ったらぴったり重なります。
(こういうのをy軸対称と言います)
だから(1,1)に打ったら、
その左右対称のとこにも打っといてください。
次。
次は「y=x2」に「x=2」を代入。
代入したら「y=22」で「y=4」。
x=2のときy=4で(2,4)だね。
もちろんy軸対称のとこにも打ちました。
次は「y=x2」に「x=3」を代入だね。
代入したら「y=32」で「y=9」。
x=3のときy=9で(3,9)です。
もうだいぶ点を打ちました。
そしたらそれらをつなぎます。
これでおしまい。
この点を上手につなぐのが最初できなくて、
それだけで2次関数嫌いになる人もいるんだけど、
もったいないからね!
1次関数は直線だから
「2点」分かればグラフが描けました。
だけど2次関数は、
こういうふうにちょっと手間がかかります。
グラフを描くのはね。
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いくつか練習してみよう。
「y=2x2」。
「x=0」代入でy=2×02だから「y=0」。
(0,0)だね。
中学の2次関数は常に原点を通ります。
「x=1」代入でy=2×12だから「y=2」。
(1,2)です。
y軸対称で左側にも打ちました。
「x=2」代入でy=2×22だから「y=8」。
(2,8)です。
「x=3」代入でy=2×32だから「y=18」。
(3,18)だね。
だけどこのグラフでは入らないので打たなくていいです。
今まで打ったところをつなぎます。結びます。
こんな感じね。
さっきより縦長です。
じゃあ今度は
をやってみます。
手書きでやるね。
原点は通るってもう分かってるから、
(0,0)(2,2)(4,8)です。
(1,1/2)(3,9/2)は、
今のところ打たないでいいです。
こういうふうに、分数のときは、
分数が消えるような数字を代入します。
だから実際、メモは
これだけでいいってことね。
じゃあ(0,0)(2,2)(4,8)を打ちます。
(本当は、さっきみたいにひとつずつ打ってね)
これをつないで
ということです。
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「y=ax2」のaがマイナスの場合も同じです。
「y=-x2」でやってみようね。
原点(0,0)は必ず通ります。
今度はx軸の下を長くしてます。
さて。
「y=-x2」に「x=1」を代入します。
そしたらy=-12で「y=-1」だね。
(1,-1)です。
もちろん左右対称です。
次は「y=-x2」に「x=2」を代入します。
そしたらy=-22で「y=-4」。
(2,-4)です。
次は「y=-x2」に「x=3」。
そしたらy=-32で「y=-9」だね。
(3,-9)です。
じゃあつなぎます。結びます。
こんな感じ。
マイナスでもやり方は同じです。
じゃあ「y=-3x2」。
「x=1」代入でy=-3×12だから「y=-3」。
「x=2」代入でy=-3×22だから「y=-12」。
「x=3」代入でy=-3×32だから「y=-27」。
(0,0)(1,-3)(2,-12)(3,-27)です。
値が大きいね。
打てるものは打ちます。
(本当はひとつずつ打っていってね。)
さあつなぎましょう。
長いね。
じゃあ最後!
分母が「3」です。
それが消えるような値を代入していきます。
(0,0)(3,-3)(6,-12)(9,-27)だね。
点を打って、
こんな感じでした!
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1次関数より実は簡単と言いつつ、
2次関数のグラフは点をいくつも求めなくちゃいけないので、
ちょっと大変でした。
次のページはちょっと楽だからね。
ここの演習問題は1問だけにしておきます。
方眼紙がない人バージョンの答えも載せておきます。
方眼紙がなくてもなんとか頑張ってみてください。
演習問題
答え
計算メモ
分母は「4」だけど、
「4」の倍数以外の「2」や「6」でも分数が消えたね。
方眼紙バージョン
方眼紙じゃないバージョン