7.2. ルートの扱い方


 前のページ(7.1. 素因数分解)


ではこのページから本格的に平方根(へいほうこん)に入ります。
平方根ってなんだよ、と思うよねえ。言葉の響きが難しそうだよね。

でも最初にごちゃごちゃ説明すると、だいたいみんな嫌になるから、
最低限の説明だけにして、まず扱い方を教えちゃいます。
(野球の初心者にルールを1時間話すより、やりながら覚えさせる方がよさそうだよね)


ーーーーーー


だからとりあえず軽くね。

c0357199_04053119.jpeg


まあこのくらいにしときましょ。


ーーーーーー


ルートは2乗で外れるというルールがあります。

c0357199_04085919.jpeg


これ、どうするかというと、中の数字を素因数分解するんです。
(素因数分解ができないと平方根はできません。前のページで練習しようね。慣れればそんなに難しくないよ)

c0357199_04085962.jpeg


こんな感じでノートの端にね。

12を素因数分解したら、その結果を次の式に書きます。

c0357199_04085982.jpeg


こうです。
このとき、2乗(ペア)に印つけましょう。

c0357199_04085935.jpeg


4.5.(式の計算)でやったみたいに、余ってるものには○をしておきます。

波線ひいてあるところがペア、つまり2乗です。
ルートは2乗で外れるというのはね、ペアだとルートの外に出るんです。

c0357199_04085988.jpeg


こんな感じです。
ペアでひとつだけね。外に出るのはこの場合「2×2」ではなく「2」だけです。
で、ルートの中にはさっき○したのだけが残ります。

これがルートの変形です。
なんでこういう形にするのか、始めはよくわかんないと思うけど(変形する前の方がきれいな感じがするよね)、だけどこの変形はしょっちゅう行います。
もう1問。

c0357199_04144232.jpeg


数字が大きくてもそんなに問題ありません。
はい素因数分解。

c0357199_04144244.jpeg


ペア(2乗)チェック。

c0357199_04144236.jpeg


2乗は外に出る。

c0357199_04144274.jpeg


これで答えです。


ーーーーーー


じゃあこれもきれいにしてみましょう。

c0357199_04202007.jpeg


素因数分解して

c0357199_04202026.jpeg


あ、ペアだけになりました。
そしたら全部ルートの外に出る=ルートはなくなります。

c0357199_04202052.jpeg


ということでした。


ーーーーーー


また、同じ平方根をかけてもルートは外れます。
(2乗と同じ意味だから)

c0357199_04231161.jpeg


こんな感じね。
同じルート同士がかかるとルートは外れるということです(ペアだから)。
わかってきたら一気にやっていいです。

c0357199_04231132.jpeg


こんな感じにね。


ーーーーーー


あと、難しくないので「有理化(ゆうりか)」も教えちゃいます。
正式には分母の有理化かな。まあ、やりましょう。

ルートは分母にいちゃだめなんです。
それを直すのが有理化です。

c0357199_04310216.jpeg


これをどうにか直します(ルートを分母からなくします)。
ルートはペア(2乗)になると外れるので、分母に同じ平方根をかけちゃいます。
勝手に分母だけにかけるとだめなので、分子にもかけます。
上にも下にもかける、という考え方は、通分のときと一緒です。

c0357199_04314110.jpeg


これで計算して

c0357199_04314127.jpeg


答えです。
これも、計算後の方がごちゃごちゃしてる気がするけど、これでいいんです。
じゃあこの有理化もやってみましょう。

c0357199_04314177.jpeg


これも上と下両方にかけて

c0357199_04314129.jpeg


いったん計算します。

c0357199_04314173.jpeg


そしたら約分しつつ、12を素因数分解して

c0357199_04382939.jpeg


ルートを外して約分して

c0357199_04353181.jpeg


答えです。
だけどなんかちょっとめんどくさい。

別の解き方。
「12」は素因数分解できるので、先にしちゃいます。

c0357199_04411218.jpeg


約分しつつ、残ったルートだけを有理化。

c0357199_04411287.jpeg


そしたらもう答え!
この方がいいよね。
分母を有理化するときは、こういうふうに、なるべくきれいな状態にしてからやると楽です。


ーーーーーー


じゃあここでようやく平方根の説明です。
ここは、まあ読まなくてもなんとかなります。

だからちょっと難しいと思ったら飛ばして、演習問題に入っていいよ。
わかんなくてがんばりすぎるといやになるからね。
いつか、やっぱり読んでみよう!と思ったら、戻ってきてくれればいいです。

「平方根」の前に「平方」ってなんだっけ。
前のページでもやりました。「2乗」のことです。
(平方センチメートルは、cmの2乗という意味だったんです)

c0357199_04462843.jpeg


平方根は逆に「この数はどんな数字を2乗したものですか」という意味です。
そのときの記号をルートと決めたんです。

c0357199_04462802.jpeg


こういうこと。(難しいと思うけど落ち着いて)

このとき「±」がつく理由は少し考えるとわかります。
(+5)の2乗も、(-5)の2乗も、どちらも「25」だからです。
(マイナスは2回かけるとプラスだったよね)

じゃあ、「5」の平方根はなんだろう。
うーん。

こういうときは、とにかく手を動かすんです。
だってやり方はさっきと同じはずだからね。

c0357199_04462942.jpeg


これで答えです。
√5はこれ以上変形できないからね。
平方根は?と聞かれたら「±√(元の数字)」とやればいい、ということです。

平方根は平方の逆だったので、ちゃんと元に戻ります。

c0357199_04495745.jpeg


マイナスだって同じです。

c0357199_04495768.jpeg


2乗(平方)したら中身の5になったよね。
ここまでが平方根の意味でした。


ーーーーーー


じゃあ少しだけ問題ね。
このふたつの問題の区別をちゃんとすること。

c0357199_04523237.jpeg


「16の平方根を書け」と「√16を根号を使わずに表せ」です。

まず左側。
平方根を書け、といわれてるのだから「±√(元の数字)」です。
平方根と元の数は違うので「元の数=」とは絶対に書いちゃいけません
「16=」とは絶対に書いちゃだめ。

c0357199_04554755.jpeg


こういうことでした。

じゃあ右側。
これは「√16って何ですか」と言われています。
なら、勝手に±とか付けちゃだめだからね。
今度は「√16=」と書かないと間違いです。

c0357199_04554784.jpeg


ということ。
似てるけど全然違います。

また、平方根は2乗(ペア)で外れるので、
2乗が頭にちゃんと入っていれば、素因数分解しなくてもすみます。

c0357199_04581223.jpeg


因数分解のページに載っていた画像です。
これをノートに書いて練習しようね。

ちゃんと覚えていれば「16」は「4の2乗」だとわかっているので、もう少し早くできます。

c0357199_05000170.jpeg


というふうにね。
でもさっきみたいに素因数分解したって出来ます。
素因数分解が基本。


ーーーーーー


というのがルートの扱い方でした!ふぁー長かったね!
これから頻繁に出てくるから、正しくやっていればきちんと慣れるはずです。

で、このルートの問題のときは
ノートの上のスペースが素因数分解でいっぱいになるのが普通だからね!
別の紙に書いたり、書いた素因数分解を消したり絶対しないこと!
消しゴムの使い方というページでもそんな話をしていました。

c0357199_05013991.jpeg


こんな感じね。これが普通です。
さあ、練習しようね。

練習

c0357199_05032867.jpeg



 次のページ(7.3. 平方根(たし算ひき算)) 
 もくじ


答え

c0357199_05040021.jpeg




by dekiyosite | 2015-05-26 15:10 | 数学